Re: [obm-l] Série

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Essa solução é bem curta.
Primeiramente, vamos observar que cos(n) é uma
sequência pouco amigável. Mas... cos(n) é a parte real
de exp(n*i), ou exp(i)^n, que é bem mais tratável.

Assim definimos:
S1  =  Soma(n=1..oo) cos(n)/n = cos(1) + cos(2)/2
+cos(3)/3 +cos(4)/4...

S1c =  Soma(n=1..oo) exp(n*i)/n = exp(i) + exp(2*i)/2
+exp(3*i)/3 +exp(4*i)/4...=>

S1 = Re( S1c ) , onde Re( ) denota parte real.

S1c = exp(i) + exp(2*i)/2 +exp(3*i)/3 +exp(4*i)/4...
S1c = exp(i) + exp(i)^2/2 +exp(i)^3/3 +exp(i)^4/4...

Bem, está quase acabado, porque o que resta agora e
perceber a semelhança entre S1c e a expansão de taylor
para -ln(-x+1):

-ln(-x+1) =  x +x^2/2 +x^3/3 +x^4/4 +x^5/5.... =>

-ln(-exp(i)+1) = exp(i) + exp(i)^2/2 +exp(i)^3/3
+exp(i)^4/4... = S1c

S1 = Re( S1c ) = Re( -ln(-exp(i)+1)  )

Lembrando que a parte real do log de um número
complexo é o log de seu módulo:

S1c = -ln(-(cos(1)+i*sin(1))+1) =>
S1 =   -1/2*ln( (1-cos(1))^2+sin(1)^2)
S1 =  -1/2*ln(cos(1)^2-2*cos(1)+1+sin(1)^2)
S1 = -1/2*ln(2-2*cos(1))
S1 = -1/2* (ln(2) +ln(1-cos(1))) ~= 0.0420195059

A solução de:
S2=  Soma(n=1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n = cos(1) -
cos(2)/2 +cos(3)/3 -cos(4)/4...
é idêntica:

S2 = 1/2* (ln(2) +ln(1+cos(1))) ~= .5625629402

Ainda dá pra dizer que, de forma análoga, pode-se
obter pelo menos mais duas séries emblemáticas:

Soma(n=1..oo) exp(-n)/n = exp(-1) + exp(-2)/2
+exp(-3)/3 +exp(-4)/4... = -ln(-exp(-1) +1)

Soma(n=1..oo) exp(-n)/n*(-1)^(n+1) = exp(-1) -
exp(-2)/2 +exp(-3)/3 -exp(-4)/4... = ln(exp(-1) +1)

[]´ Demetrio




--- Demetrio Freitas
<demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:

> 
> Olá Ronaldo.
> 
> --- ralonso <ralonso@trieste.fapesp.br> escreveu:
> 
> > Você quer o valor da soma das séries?
> 
> Sim.
> 
> 
> Segunda-feira eu posto a solução. Se houver alguém
> interessado no problema, observo que não é a mesma
> coisa que calcular soma (n=1..oo) sin[n]/n. Eu
> inclusive não consegui fazer por séries de Fourier
> 
> []'s Demétrio
> 
> > 
> > Demetrio Freitas wrote:
> > 
> > > Olá,
> > >
> > > Problemas semelhantes (mas não iguais) ao
> > anterior:
> > > Calcule para onde convergem as séries abaixo.
> > >
> > > 1- Soma(n = 1..oo) cos(n)/n
> > 
> > > 2- Soma(n = 1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n
> > 
> > >
> > > []´s Demetrio
> > >
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