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Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
linda solucao!!! :)
abracos,
Salhab
On 5/6/07, charles <9charles@gmail.com> wrote:
>
> Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que:
> 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) < x + y + z
>
> (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z²
>
> De a função tangente ser bijetora no intervalo [0,pi/2], nos reais
> positivos, existe apenas um tgA=x, tgB=y e TgC=z.
> Da formula da soma da tangente de trs termos(calcule) temos que tgATgB
> +TgBTgC +TgATgC=1 se e só se A + B + C= pi/2 aí de (tga)^2 +1=(secx)^2 e de
> 1-(tgx)^2=cos(2x)/(cosx)^2, a des fica:
>
> depois fica um negocio assim: sen(4A) + sen(4B)+sen(4C) <= sen(2A)
> +sen(2B)+sen(2C)
>
> >
> > lado direito:
> 2sen(a+b)cos(a-b)+sen(2(a+b))=2sen(a+b)[cos(a-b)+cos(a+b)]=4sen(a+b)[cosacosb]
> >
> > lado esquerdo:
> 2sen(2a+2b)cos(2a-2b)-2sen[2a+2B]cos(2a+2b)=2sen(2a+2b)[cos(2a-2b)-cos(2a+2b)]=4sena+bcos(a+b)2sen(2a)sen(2b)
> fica,
>
>
> cancelando: sena.senb.senc<=1/8 que sai por JENSEN, senx é concava em
> 0,pi/2 derivada segunda é menor que zero (-cosx, x pertencente a 0,pi/2)
> logo:
> sena.senb.senc<=(sena+senb+senc)^3/3^3 (média aritmética-geométrica)
> <=(3.sen(pi/6))^3/3^3(des.jensen)=1/8, pronto.
> provavelmente tem algum erro ae mas ali no meio da parte de
> trigonometria eu usei as fórmulas de tranformar soma em produto algumas
> vezes. Mas cara na tua escola voce tem um professor só para obm? eu queria
> estudar numa escola assim.voce tem sorte!
>
>
> >
> > Obrigado!
> >
> >
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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