Re: [obm-l] Teoria dos números

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá Artur,

[raiz(2) - 1]^n = raiz(m) - raiz(m-1)

elevando ao quadrado, ficamos com:

[raiz(2) - 1]^(2n) = m + m-1 - 2raiz(m(m-1))
[3 - 2raiz(2)]^n = 2m - 1 - 2raiz[m(m-1)]

raiz(m) = [raiz(2) - 1]^n + raiz(m-1)

assim:
[3 - 2raiz(2)]^n = 2m - 1 - 2{[raiz(2)-1]^n + raiz(m-1)} raiz(m-1)
[3 - 2raiz(2)]^n = 2m - 1 - 2raiz(m-1)*[raiz(2)-1]^n - 2m + 2
[3 - 2raiz(2)]^n = 1 - 2raiz(m-1)*[raiz(2)-1]^n

raiz(m-1) = { 1 - [raiz(2) - 1]^(2n) } / [raiz(2) - 1]^n

raiz(m-1) = 1/[raiz(2) - 1]^n - [raiz(2) - 1]^n

elevando ao quadrado, temos:
m - 1 = 1/[raiz(2) - 1]^(2n) + [raiz(2) - 1]^(2n) - 2

m = 1/[raiz(2) - 1]^(2n) + [raiz(2) - 1]^(2n) - 1

sabemos que x + 1/x >= 2.. logo: m >= 1 ... perfeito!
sendo a igualdade dada quando n = 0.

falta mostrarmos que é inteiro!

vamos racionalizar o 1/[raiz(2) - 1]^(2n).. assim:

m = [raiz(2) + 1]^(2n) + [raiz(2) - 1]^(2n) - 1
m = Sum_{i=0}^{2n} { C(2n, i) raiz(2)^(2n-i) [1 + (-1)^i] } - 1

vemos que os termos ímpares irão se anular.. assim, m é uma soma de
inteiros e é inteiro.

abracos,
Salhab



On 5/2/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
>
>
> Este problema parece interessante. Talvez tenha alguma solucao facil, mas
> nao vi.
>
>
> Mostre que, para todo inteiro positivo n, (raiz(2) - 1)^n = raiz(m) - raiz(m
> -1), sendo m>=1 um inteiro.
>
> Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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