O
objetivo deste problema insere-se em um outro, qual seja, mostrar que, se um
conjunto A de R^n tem medida de Lebesgue positiva, entao A - A = { a1 - a2 | a1
e a2 estao em A} contem uma bola centrada na origem. Eu conheco uma
demonstracao para isso que ateh apresentei aqui a pedido de alguem. Mas estava
tentando uma demosnstracao alternativa que me parece mais
simples:
Como
todo conjunto de medida positiva contem um subconjunto de medida positiva
finita, basta considerar este ultimo caso. Defininamos f:R^n --> R
por f(x) = m(A inter A + x). Suponhamos provado (o que nao fiz....) que f
eh continua. Como f(0) = m(A inter A) = m(A) >0, existe uma bola aberta
B centrada em 0 (origem) na qual f eh estritamente positiva. Se x esta em B,
f(x) >0, o que implica que A e A +x se intersectam (o vazio tem
medida nula), existindo assim a1 tal que a1 esta em A e em A +
x. Desta ultima pertinencia, segue-se que existe a2 em A tal
que a1 = a2 + x. Logo, x =a1 - a2 com a1 e a2 em A, o que significa que x
esta em A - A. Logo, B estah contida em A - A, completando a
prova.
Parece
bem mais simples que a outra prova que conheco, supondo-se, eh claro,
demonstrado que f eh continua. Um top dog americano nao provou isso pra mim, mas
disse Oh, that's trivial. Mas como o que eh trivial para um pode ser
completamente obscuro para outro....
Artur
Olá Artur!
Não tenho conhecimento do assunto relacionado a esse
problema. Daria muito trabalho se você tentasse explicar com um pouco de
detalhes qual a lógica de resolução da questão. O que é uma medida de
Lebesgue? Como é feita essa translação de conjunto por elemento (A por x)?
Seja A um subconjunto de R^n com m(A)
< oo, onde m eh a medida de Lebesgue. Para x em R^n, seja A + x = {a
+ x | a estah em a} a translacao de A por x e seja f(x) = m(A inter
(A + x)). Estou querendo mostrar que f eh continua
m R^n. Ainda nao consegui, alguem pode dar uma sugestao? (a conclusao eh
sabidamente
verdaeira)
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Henrique