RES: [obm-l] Mostra que f eh continua

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

OI Henrique. Obrigado pelo interesse.

 

Eu teria o maximo prazer em compartilhar o que conheco disso, mas o assunto eh um tanto extenso para explicar aqui. Exige os fundamentos da teoria de medidas. Eh necessario que se estude em um livro.

 

Basicamente, eh o seguinte. Se A eh um conjunto qualquer, dizemos que uma colecao de M de conjuntos de A eh uma sigma-algebra definida em A se:

 

1) A e o conjunto vazio estao em M.

 

2) Se C esta em M, entao o complementar de C tambem estah

 

3) A uniao de qualquer colecao enumeravel de membros de M esta em M (pelas Leis de De Morgan, 2 e 3 isto implicam que o mesmo se verifique para interseccoes enumeraveis)

 

Dizemos que uma funcao m, definida em M e com valores em [0, oo] isto eh, os reais nao negativos expandidos, eh uma medida em M se m satisfizer a

 

1) m(A) >= 0 para todo A de M (o que jah se deduz do contradominio de m)

 

2) Para todo colecao enumeravel A_n de conjuntos disjuntos 2 a 2 de M, m(Uniao A_n) = Soma m(A_n) (propriedade conhecida por sigma-aditividade) 

 

A medida de Lebesgue, valida para os espacos vetorias Euclidianos, incluindo os complexos, eh definida da seguinte forma: 

 

 Para cada cobertura enumeravel, (C_n), de A, composta por celulas (intervalos, retangulos, paralelelpipedos...dependendo de n) abertas de R^n, seja I = Soma (L(C_n), onde L(C-n) eh o comprimeto de C_n n no caso da reta real,   a area no caso de R^2, o volume no caso de R^3, etc. A medida exterior de Lebesgue de A, m(A),  eh definida por infimo {I}, onde o infimo eh computado sobre a colecao de todas as coberturas C_n. Quando o conjunto A satisfaz a algumas condicoes especiais, diz-se que eh mensuravel e e sua medida entao confunde-se com sua medida exterior.

 

Acho que nao deu pra clarear nao. O assunto nao se explica em 10 minutos e exige reflexao.

 

Abracos

 

Artur.

 

 

 

[Artur Costa Steiner] 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Henrique Rennó
Enviada em: quinta-feira, 26 de abril de 2007 22:46
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Mostra que f eh continua

Olá Artur!

Não tenho conhecimento do assunto relacionado a esse problema. Daria muito trabalho se você tentasse explicar com um pouco de detalhes qual a lógica de resolução da questão. O que é uma medida de Lebesgue? Como é feita essa translação de conjunto por elemento (A por x)?

Seja A um subconjunto de R^n com m(A) < oo, onde m eh a medida de Lebesgue. Para x em R^n, seja A + x = {a + x | a estah em a}  a translacao de A por x e seja f(x) = m(A  inter (A + x)).   Estou querendo mostrar que f eh continua m R^n. Ainda nao consegui, alguem pode dar uma sugestao? (a conclusao eh sabidamente verdaeira)

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Henrique