Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos.
Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de
entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1,
oo) com a area da "escada" que corresponde aa sequencia f(n). So
serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh
so tomar a simetrica).
Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda!
Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de
que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge
se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge.
So
lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a
sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais
ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais
que |f_n| <= M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge
uniformemente para alguma funcao f.
O
Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 <= a_n <= b_n para todo n e
Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma
b_n diverge.
Abracos
artur