Re:[obm-l] SEQUENCIAS II

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
> 

Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
Seja eps > 0.
b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2.
Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.


> Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.....<=a_k. Calcule 
> lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
>

Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==>
a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k.
Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da 
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).

Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. 
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.

[]s,
Claudio.
 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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