Re: [obm-l] o menor valor

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Infelizmente, a maioria das pessoas que usa multiplicadores de Lagrange segue apenas uma receita de bolo, sem ter a menor 
ideia de por que o metodo funciona. Uma boa explicacao encontra-se no cap. 4 do livro Analise Real - vol.2 do Elon Lages Lima, 
publicado pelo Impa.

No entanto, nesse caso, dah pra fazer com matematica do ensino medio:

Como x^2+y^2=1, o problema eh minimizar 2y-6x+1 sujeita a x^2+y^2=1.
Uma ideia razoavel eh fazer x = cos(t), y = sen(t) e cair no problema:
Minimizar f(t) = 2*sen(t) - 6*cos(t) + 1 = 
raiz(40)*(sen(t)*(2/raiz(40)) - cos(t)*(6/raiz(40))) + 1 =
raiz(40)*sen(t-a) + 1, onde cos(a) = 2/raiz(40) e sen(a) = 6/raiz(40).
 
O valor minimo de f(t) ocorre quando sen(t-a) = -1 ==> 
f(t) = 1 - raiz(40) = 1 - 2*raiz(10).
Nesse caso, t - a = -pi/2 + 2kpi ==> t = a - pi/2 + 2kpi ==>
x = cos(t) = cos(a - pi/2) = sen(a) = 3/raiz(10)
y = sen(t) = sen(a - pi/2) = -cos(a) = -1/raiz(10)  

[]s,
Claudio.


---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 28 Mar 2007 13:43:52 -0300
Assunto: Re: [obm-l] o menor valor

> Ah... só mais uma coisa... esqueci o link:
> 
>    http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers
> 
> 
> On 3/28/07, Ronaldo Alonso <ronaldo.luiz.alonso@gmail.com> wrote:
> >
> > Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo
> > usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor
> > de uma função sujeita a uma restrição.
> >    No caso a função é  f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y  e a restrição é
> > g(x,y) = x^2 + y^2 = 1
> >
> >   Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y)
> > Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o
> > vínculo
> > e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para
> > isso vc tem
> > que resolver um sisteminha.
> >
> >    Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta?
> >
> > []s a todos.
> >
> >
> >
> >
> > On 3/26/07, vitoriogauss <vitoriogauss@uol.com.br> wrote:
> > >
> > > legal essa maneira ...gostei
> > >
> > >
> > > > Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira
> > > equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e
> > > procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira.
> > > >
> > > > Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10
> > > >
> > > > []s
> > > >
> > > > vitoriogauss <vitoriogauss@uol.com.br> escreveu:
> > > > se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é
> > > >
> > > > Vitório Gauss
> > > >
> > > >
> > > >
> > > =========================================================================
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > >
> > > =========================================================================
> > > >
> > > >
> > > >  __________________________________________________
> > > > Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger
> > > > http://br.messenger.yahoo.com/
> > >
> > > Vitório Gauss
> > >
> > >
> > >
> > > =========================================================================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
> > > =========================================================================
> > >
> >
> >
> >
> > --
> > ---------------------------------------------------------
> > Analista de Desenvolvimento
> > Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
> 
> 
> 
> 
> -- 
> ---------------------------------------------------------
> Analista de Desenvolvimento
> Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
> 
> 


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================