Eu começaria observando que:
cos (k/x) = [e^(k i /x) + e^(-k i/x)] / 2
[cos (k/x)]^x = [e^(k i /x) + e^(-k i/x)]^x / 2^x
agora, multiplicando numerador e denominador por [e^(k i /x)]^x
:
[e^(2 k i /x) + 1 ]^x / 2^x * [e^(k i /x)]^x
[e^(2 k i /x) + 1 ]^x / [2 * e^(k i /x)]^x
Agora creio que o esquema é mudar as variáveis da
expressão [e^(2 k i /x) + 1 ]^x para que ela
se pareça com algo do tipo: (1+h)^(1/h) cujo limite é e quando h
-->0
Não consigo fazer isso de forma rápida, alguém tem alguma sugestão?
Se eu colocar e^(2 k i /x) = y tenho ln y =
2ki /x ==> x = 2 k i/ln y e a expressão fica assim:
[e^(2 k i /x) + 1 ]^x = [ y + 1] ^ ( 2 k
i/ln y ) = { [y+1] ^ (1/ln y) } ^ (2ki)
Notar agora que [y+1] ^ (1/ln y) tem um "pentelho" 1/lny
atrapalhando. Não é isso. Eu quero 1/y e não 1/ln y
Alguém tem alguma boa sugestão para continuar usando esse caminho ?
PS: Posso ter cometido algum erro nas contas.
On 3/26/07, Leonardo
Borges Avelino <topgun.lba@gmail.com> wrote:
Calcule
o limite:
lim [cos(k/x)]^x x->infinito com
k constante sem utilizar l'hospital ou série ou equivalência..... somente
por limites fundamentais..
grato
Leonardo Borges
Avelino
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Analista de
Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de
SP.