[obm-l] RES: [obm-l] Congruência, módulo m

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi Bruna

 

O Ronaldo ja deu uma explicacao bem interessante. Vou dar um exemplo de aplicacao de congruencias. Vamos mostrar que a soma dos quadrados de 2 numeros impares nunca eh um quadrado perfeito.

 

Sendo a e b numeros impares, suponhamos que exista um inteiro c tal que a^2 + b^2 = c^2. Entao, c tem que ser par e c^2 tem que ser multiplo de 4, o que, em termos  de congruencias, significa que c^2 = 0 (mod 4) (aqui, = significa os 3 tracos horizontais da congruencia). Logo,

 

a^2 + b^2 = 0 (mod 4))

 

Pelas propriedades dos numeros impares (que sugiro que vc demonstre), temos que

 

a^2 = 1 (mod 4) , b^2 = 1 (mod 4) e , pelas propriedades das congruencias, a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2 (mod 4)

 

A primeira congruencia diz que a^2 +b^2 eh multiplo de 4, ao passo que a segunda diz que, quando dividido por 4, a^2 + b^2 deixa resto 2. Temos assim uma contradicao, pois este resto tem que ser unico. Logo, a^2 + b^2 nunca eh um quadrado perfeito.

 

Artur

 

 

[Artur Costa Steiner]  -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruna Carvalho
Enviada em: sexta-feira, 23 de março de 2007 12:53
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Congruência, módulo m

> Alguém poderia me ajudar em como usar, para que serve a tal de 
>   congruência mod m, alguns exemplos de apliacação.
>
> -- 
>   
> Bjos, 
> Bruna