Oi,
Fatoração costuma ser a resposta nesse caso:
Queremos saber se a expressão E = 2ab + 1 - a - b é sempre não negativa ou não. Mas 2E = 4ab - 2a - 2b + 2 = (2a - 1)(2b - 1) + 1. E, como 0 < a < 1 e 0 < b < 1, -1 < 2a - 1 < 1 e -1 < 2b - 1 < 1, de modo que -1 < (2a - 1)(2b - 1) < 1. Portanto 0 < (2a - 1)(2b - 1) + 1 < 2, ou seja, 0 < 2E < 2, o que é equivalente a 0 < E < 1.
Assim, é sempre verdade que, para a,b no intervalo (0,1), a + b < 1 + 2ab. Além disso, isso prova também que, com a e b no mesmo intervalo, a + b > 2ab.
[]'s
Shine
----- Original Message ----
From: Renan Kruchelski Machado <renankmachado@gmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, March 18, 2007 7:01:53 PM
Subject: [obm-l] Desigualdade
Oi pessoal,
Gostaria de saber se tomando a, b pertencentes a (0,1) nos reais é verdade que a+b<=1+2ab. Como posso provar isso??
Obrigado,
Renan