[obm-l] Re:[obm-l] polinômio minimal

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Seja A uma matriz nxn sobre um corpo F com polinomio minimo m(x).
Sabemos que cada autovalor de A eh raiz de m(x) e que m(A) = 0  (*) e tambem que A eh diagonalizavel sss F^n possui uma 
base formada por autovetores de A (**).

Suponhamos que A seja diagonalizavel sobre F.
Sejam k_1, ..., k_r os autovalores distintos de A (pode ser que r < n, pois dois ou mais autovetores podem estar associados a um 
mesmo autovalor). Nesse caso, em virtude de (*), eh facil ver que m(x) = (x-k_1)*...*(x-k_r), pois m(D) = 0, onde D eh uma 
matriz diagonal semelhante a A.

Suponhamos que m(x) = (x-b_1)*...*(x-b_s), onde os b_i sao elementos distintos de F (e autovalores de A).
Como m(A) = 0, temos (A - b_1*I)*...*(A - b_s*I) = 0.
Logo, n = dim F^n = dim ker((A - b_1*I)*...*(A - b_s*I)) <= 
dim ker(A - b_1*I) + ... + dim ker(A - b_s*I) =
dim Soma Direta(i=1...s) ker(A - b_i*I) <= n, pois ker(A - b_i*I) eh um auto-espaco de A associado ao autovalor b_i.
Ou seja, Soma Direta(i=1...s) ker(A - b_i*I) = F^n ==>
Como autovetores associados a autovalores distintos sao LI, a uniao das bases de cada um dos r auto-espacos constitui uma base 
de F^n. Ou seja, F^n tem uma base formada por autovetores de A ==>
A eh diagonalizavel (por **)

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Tue, 6 Mar 2007 17:24:08 -0300
Assunto: [obm-l] polinômio minimal

> Esse teorema é verdadeiro?
> 
> A matrix  is diagonalizable over a F  if and only if its minimal
> polynomial factors into a product of distinct (monic) linear factors
> with coefficients in F
> 
> 
> estava vendo a resolução de um prova da IMC(10th IMC solutions) e um
> cara num forum citou,
> caso seja verdadeiro, a matriz é diagonalizavel somente se no
> polinomio minimal eu tiver fatores distintos?
> 
> abraços a todos,
> 
> Jhonata
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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