Re:[obm-l] Analise Combinatoria

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Mon, 12 Feb 2007 22:21:10 +0000 (GMT)

Assunto:

[obm-l] Analise Combinatoria

> Estou com muita dificuldade em resolver esta questao, e gostaria muito de ajuda.

>  

> 1) Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares para cada 3 alunos. De quantos modos ele pode fazer os convites se ele nao deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de um jantar? Resp:151.200

>  

> Obrigado por enquanto.....

 

 

Chame os alunos de 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

 

Cada aluno deve jantar exatamente uma vez com cada um dos 6 colegas e deve ser acompanhado por exatamente 2 colegas em cada jantar. Logo, participa de 6/2 = 3 jantares.

 

Tomemos o aluno 1.

Num dos jantares ele necessariamente encontrará o aluno 2.

O terceiro aluno deste jantar pode ser escolhido de 5 maneiras distintas.

Digamos que o aluno 3 seja escolhido.

Assim, um dos jantares será {1,2,3}.

 

Num segundo jantar, 1 necessariamente encontrará 4.

O terceiro participante deste jantar pode ser escolhido de 3 maneiras distintas (dentre 5, 6 e 7).

Digamos que seja o aluno 5.

Assim, o segundo jantar de 1 será {1,4,5}

 

O terceiro jantar de 1 será necessariamente {1,6,7}.

 

Vejamos agora o segundo jantar do aluno 2 (o primeiro foi {1,2,3}).

Ele necessariamente encontrará o aluno 4. Digamos que seja nesse jantar.

O terceiro participante desse jantar pode ser escolhido de 2 maneiras distintas (só pode ser 6 ou 7).

Digamos que seja 6.

Isso implica que o segundo jantar de 2 será {2,4,6}.

 

O terceiro jantar de 2 será necessariamente {2,5,7}.

 

Repare que, a essa altura, o aluno 4 já participou dos jantares {1,4,5} e {2,4,6}.

Logo, o terceiro jantar de 4 será necessariamente {3,4,7}.

 

Mas, nesse caso, como 3 já participou de {1,2,3} e {3,4,7}, o seu terceiro jantar só pode ser {3,5,6}.

 

Em suma, temos os 7 jantares:

{1,2,3}, {1,4,5}, {1,6,7}, {2,4,6}, {2,5,7}, (3,4,7} e {3,5,6}.

 

A fim de determiná-los, tivemos que escolher:

i) dentre 5 alternativas para o primeiro jantar de 1;

ii) dada a primeira escolha, dentre 3 alternativas para o segundo jantar de 1, e

iii) dadas as duas escolhas anteriores, dentre 2 alternativas para o segundo jantar de 2.

Total = 5*3*2 = 30 alternativas.

(ou seja, existem 30 conjuntos distintos de 7 jantares cada nas condições do enunciado)

 

Finalmente, como os jantares podem acontecer em qualquer ordem durante os 7 dias, o número total de maneiras do professor dar os 7 jantares é igual a 30*7! = 30*5040 = 151200.

 

 

[]s,

Claudio.