Seja d = 2^a3^b (como o Nehab fez aí embaixo) um divisor de n^2 mas que não é divisor nem múltiplo de n (a idéia diferente é considerar ele não múltiplo!). Vamos contar as possibilidades de d.
Então se a > 95 então b < 19 e se b > 19 então a < 95. Assim, temos os divisores do tipo I com 95 < a <= 190 e 0 <= b < 19 (um total de 95*19) e os do tipo II com 0 <= a < 95 e 19 < b <= 38 (um total de 95*19 também). Daria um total de 2*95*19.
Só que não distinguimos quem é menor do que n e quem não é. Mas isso não é problema; se (a,b) é do tipo I com d = 2^a3^b > n então n^2/d = 2^(190-a)3^(38-b) é do tipo II e é menor do que n. Ou seja, entre um cara d do tipo I e o seu correspondente n^2/d do tipo II, somente um cara é menor do que n. Assim, a resposta é metade de 2*95*19, que é 95*19 (a conta deixo para o leitor :) ).
Eu posso ter errado também, porque estou com dor de cabeça e não estou conseguindo me concentrar direito :-/. Alguém pode checar?
----- Original Message ----
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, February 12, 2007 9:27:20 PM
Subject: Re: [obm-l] Números de divisores
Oi, Ricardo,
Resolvi tentar mas é apenas uma tentativa de solução e ainda por cima feiosa:
Se d é divisor de n^2, então d = 2^a.3^b, onde a <= 190 e b <= 38 (1)
Se d não é divisor de n, então a > 95 ou b > 19 (2)
Se d < n então 2^a.3^b < 2^95.3^19. Aplicando logaritmo, vem:
(log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47)
0,3 a + 0,477 b < 95 . 0,3 + 19 . 0,477 = 37,68
Então
a + b.1,59 < 125,6 (4) (um semiplano nos eixos a e b )
De (1) e (2) segue-se que
a
= 96 a 190 e b = 1 a 38 (5)
a = 1 a 95 e b = 20 a 38 (6)
Perdi a paciência... A tentativa de solução ficou chata, feia e desinteressante... Aguardo que alguém mande algo mais criativo que isto.... :-(>:-o
Nehab
At 13:03 12/2/2007, you wrote:
Seja n = 295 x 319 .Determine o número de divisores inteiros positivos de n2 menores que n que não são divisores de n.
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[ ]s,
Ricardo J.F.