[obm-l] Re: [obm-l] Progressões

["Carlos Gomes" <cgmat@xxxxxxxxxxxxxx>]

Bruna, A resposta é C, visto que se (a,f,n) é uma PA e uma PG  (com termos 
não negativos) implica que os três termos são iguais (veja o meu argumento 
abaixo!), o que é impossível pois o avô o filho e o neto  não podem 
evidentemnte ter a mesma idade!

Sejam a, f , n três números que nesta ordem formam uma PA e uma PG 
simultâneamente, então

Se (a,f,n) é uma PA ==> f -a = n - f  ==> f = (a+n)/2
Se (a,f,n) é uma PG ==> f/a = n/f  ==> f^2 =a.n  ==> f= sqrt(a.n) , pois 
estamos supondo f>0.

Assim, temos que f = (a+n)/2 e f= sqrt(a.n)  ==>  sqrt(a.n)=(a+n)/2 , 
noutras palavras a média geometrica entre a e n e a media aritmética entre a 
e n são iguais! É um fato bem conhecido que essa igualdade só ocorre se os 
números a e n forem iguais. Assim temos que a=n. Como  f = (a+n)/2 = (a+a)/2 
= a. Logo a=f=n.

Obs. Para mostrar que sqrt(x.y)=(x+y)/2  <==> x = y.  Faça o seguinte....

sqrt(x.y)=(x+y)/2   ==>  2.sqrt(x.y) = x+y  ==> [sqrt(x)]^2 - 
2.sqrt(x).sqrt(y) + [sqrt(y)]^2 = 0  ==> [sqrt(x)-sqrt(x)]^2=0  ==> 
sqrt(x)=sqrt(y) ==> x=y. A recíproca é óbvia!

Cgomes



----- Original Message ----- 
From: "Bruna Carvalho" <bruna.carvalho.pink@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 05, 2007 8:09 PM
Subject: [obm-l] Progressões


Um senhor tem a anos de idade, seu filho tem f anos de idade e seu
neto, n. Sobre estes valores, podemos afirmar:

(A) É impossível que a, f e n estejam em progressão aritmética.
(B) É impossível que a, f e n estejam em progressão geométrica.
(C) É impossível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão
aritmética e geométrica.
(D) É possível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão
aritmética e geométrica.
(E) É possível que a, f e n estejam em progressão aritmética, mas é
impossível que estejam em progressão geométrica.

-- 
Bjos,
Bruna

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