RE: [obm-l] ITA-71

[Filipe de Carvalho Hasché<filipe_carvalho@xxxxxxxxxxx>]

>(ITA-71) Qual é o maior número de partes em que um plano pode ser dividido 
>por n linhas retas?
>a) n²     b) n(n + 1).    c) n(n + 1)/2.     d) (n² + n + 2)/2.    e) 
>n.d.r.a.

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A resposta é letra D. Vejam as 2 resoluções:

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1ª resolução:


Para entender como funciona isso, aconselho q façamos alguns desenhos para n 
= 1, n = 2, n = 3, n = 4 e daí verificar alguma regularidade.

Chamemos de "Rn" o n° de regiões geradas pelo corte de n retas.

Para n = 1:
O plano cortado por 1 reta fica dividido em 2 regiões.
R1 = 2

Para n = 2:
O plano cortado por 2 retas fica dividido em 4 regiões.
R2 = 4

Para n = 3:
O plano cortado por 3 retas fica dividido em 7 regiões.
R3 = 7

Para n = 4:
O plano cortado por 4 retas fica dividido em 11 regiões.
R4 = 11

...

Para provar isso devemos usar um recurso chamado "Relações de Recorrência". 
É um assunto que não é mais visto nos cursos escolares de An. Combinatória. 
Mas como essa prova é da década de 70, vamos tentar entender...

Para os valores de n que construímos no começo, podemos ver que:

A n-ésima reta deverá cortar todas as (n-1) retas já desenhadas.
Como cada reta corta um plano em 2 regioes, teremos (n-1)+1 regiões a serem 
cortadas por essa n-ésima reta.
Assim, são formadas (n-1)+1 = n novas regiões.

A relação de recorrência obtida é: Rn = R(n-1) + n

Agora é demonstrar por indução.

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2ª resolução:


Como é uma prova de múltipla escolha, poderíamos fazer sem demonstrações.

Pra um olho clínico, vemos que 2, 4, 7, 11, .... são os sucessores dos n°s 
triangulares.

Pra quem não lembra, os n°s triangulares são: 1, 3, 6, 10, ....

Ei-los geometricamente (espero q consigam visualizar):

                                    *
                      *           * *
          *         * *        * * *
*      * *      * * *     * * * *     ...
1       3          6            10

Então:  Rn = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) + 1

Rn = (Soma da PA manjada) + 1

Rn = (1 + n).n/2   +  1

Rn = (n² + n + 2)/2



Abraços,
FC.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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