Re: [obm-l] EN-86

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Peco desde já desculpas por mandar esta mensagem só depois de a discussao
estar avancada, mas acho que alguns comentários sao necessários.

A questao original é:

>   (EN-86) O valor da soma das raízes comuns às equações
>   x4 - 7x3 + 16x2 - 15x + 3 = 0 e x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2 = 0 é:
>   a) 0.        b) 1.       c) 2.         d) 3.        e) 4.

Sejam p1 e p2 os dois polinomios do enunciado. Vamos calcular o mdc
pelo algoritmo de Euclides:
p3 = p1 - p2 = -4x3 + 17x2 - 8x + 1 é o resto da divisão de p1 por p2.
A divisão de p2 por p3 dá um pouco mais de trabalho mas o resto é
p4 = 34/16 (x2 - 4x + 1) (este fator 34/16 é lixo para fins da questão).
A divisão de p3 por p4 dá resto 0
donde o mdc é p4 ou, o que dá na mesma, x2 - 4x + 1.

Assim a soma das raízes é 4, opcão (e).

Uma vez encontrado o mdc é fácil mas desnecessário calcular
as raízes: 2 +- sqrt(3).

Depois de calculado o mdc também fica fácil fatorar p1 e p2:

p1 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 3x + 3)
p2 = (x2 - 4x + 1)(x2 + x + 2)

Não tenho certeza se é muito boa idéia tentar fatorar os polinômios
antes de calcular o mdc (ou calcular o mdc via fatoracão).
Se os graus fossem mais altos isto certamente seria bem mais trabalhoso
do que calcular o mdc por Euclides mas aqui o grau é relativamente baixo.
Se você conjecturar (corretamente!) que a questão não é maliciosa
a ponto de pedir a soma das raízes comuns quando não existe raiz
comum nenhuma, e se você verificar (o que é fácil) que nem p1 nem p2
tem raiz inteira então p1 e p2 devem forcosamente fatorar assim:

p1 = (x2 + bx + c)(x2 + dx + e)
p2 = (x2 + bx + c)(x2 + fx + g)

onde b,c,d,e,f,g são inteiros. Temos ce = 3 e cg = 2 donde c deve ser
1 ou -1. Temos assim dois casos para testar:

p1 = (x2 + bx + 1)(x2 + dx + 3)
p2 = (x2 + bx + 1)(x2 + fx + 2)

ou

p1 = (x2 + bx - 1)(x2 + dx - 3)
p2 = (x2 + bx - 1)(x2 + fx - 2)

e a partir daqui é bem fácil verificar que o segundo dá errado
e que o primeiro obtem a fatoracão desejada (e resolve a questão).

Cometários sobre os comentários. Marcus Vinicius Costa escreveu:

> Sugiro resolver a seguinte equacão:
> x4 - 7x3 + 16x2 - 15x + 3 = x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2
> a solucão da equacão é a resposta procurada.

Esta equacão é do terceiro grau e não é óbvio que ela possa
ser resolvida com as ferramentas usuais do ensino médio.
Mas no caso, pode sim. A equacão pode ser reescrita como p3 = 0
(para o p3 acima) e é fácil encontrar a raiz racional x = 1/4.
Esta raiz permite fatorar p3 como:

p3 = -(4x-1)(x2-4x+1)

que tem raizes 1/4, 2+sqrt(3) e 2-sqrt(3).

Basta agora testar cada uma destas raízes para ver quais
(se é que alguma) é raiz comum. De fato, 2+sqrt(3) e 2-sqrt(3)
são raízes de p1 e p2 mas 1/4 não é.

> Acho que usar o Teorema seria trabalhoso, pois para fazer o MDC das 
> duas funcões seria necessário fatorá-las e para isso precisaria 
> achar as raízes, o que pode ser fácil ou não.

Não é necessário fatorar para achar o mdc (calculamos o mdc lá no alto
por Euclides, sem fatorar nada) e também não é necessário achar as raízes
para fatorar (fatoramos acima sem achar as raízes). Se algo é verdade,
é a recíproca: o aluno de ensino médio só tem chance de achar as raízes
de p1 e p2 fatorando.

Em resposta a isso, Carlos Gomes respondeu:

> Marcus, o seu procedimento não é legal ( verdadeiro), pois se a é uma raiz
> comum é verdade que a igualdade
> x4 - 7x3 + 16x2 - 15x + 3 = x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2
> ocorre, mas a recíproca é falsa, isto é se
> x4 - 7x3 + 16x2 - 15x + 3 = x4 - 3x3 - x2 - 7x + 2
> não implica que x seja uma raiz comum as duas equações.

Correto, o contraexemplo é x = 1/4. O que o Marcus propos é correto
apenas se ele estiver disposta a depois *checar* as raízes
(e como ele não fez as contas não tenho certeza se ele pretendia checar).
Mas acho que o Carlos se atrapalhou no contraexemplo, ou então fui eu
que não entendi nada:

> Veja o contra-exemplo:
> x-1 = x^2-3x+2 tem como raízes 1 e 2

Não tem não! As raízes são 1 e *3*!

> e entretanto 1 e 2 não são evidentemente raízes comuns
> as equações algébricas x-1=0 e  x^2-3x+2=0, visto que o número 2
> só eh raiz da segunda equação.

De fato, 2 é raiz da segunda mas não da primeira mas não é raiz
da diferenca. E 3 é raiz da diferenca mas não é raiz de nenhuma
das duas equacões "originais".

Em geral, se q1(x) = 0 e q2(x) = 0 segue que (q1-q2)(x) = 0
e se q1(x) = 0 e (q1-q2)(x) = 0 segue que q2(x) = 0.
Ou seja, uma raiz da diferenca *ou* é raiz comum
*ou* não é raiz de nenhuma das duas equacões.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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