[obm-l] Sequencia de medias ponderadas

["Sandra" <sandra-lynn0@xxxxxxxxxx>]

Há algumas semana alguém na lista propos a seguinte demonstracao, que nao foi porem apresentada:

Sejam a_n uma sequencia de numeros reais, p_n uma sequencia de pesos
positivos e s_n a sequencia das medias ponderadas dos a_n pelos p_n, isto eh, s_n = (Soma(i=1,n)(p_i * a_i))/Soma(i=1,n)(p_i)

a) Se Soma (i=1, oo) p_n divergir, entao lim inf a_n <= lim inf s_n <= lim sup s_n <= lim sup a_n (obviamente, a desigualdade do meio vale para qualquer seq. de reais).  Daih concluimos que, se a_n -> a, então s_n -> a, mesmo que a = oo ou a = -oo nos reais expandidos.

b) Se Soma (i=1, oo) p_n convergir, entao, se a_n for limitada, s_n converge em R. Logo, se a_n ->a em R , entao s_n -> s em R, podendo-se ter a <> s.   

O item (b) eh simples, basta ver que a sequencia do numerador eh absolutamente covergente. Mas me perdi no item (a), gostaria de alguma sugestao (e claro que, demonstradas as desigualdades, a segunda conclusao é imediata) .

Obrigada
Sandra 

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