Res: [obm-l] Funcoes periodicas

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Na questão 1, Cláudio, creio que é mesmo necessário impor uma restrição adicional, de que o período p deve ser maior do que algum epslon determinável. Afinal, definir uma função periódica cujo período pode ser arbitrariamente pequeno não parece muito útil... De fato, no caso proposto não é possível definir um período fundamental.
 
Questão 3: g(x) = f(x+a) + f(x), para todo x em R, g eh periodica de período fundamental p.

hipótese 1- f(x) é periódica de período p1 < p;
Neste caso é claro que g também seria periódica de período p1. Contraria o enunciado logo, impossível.

hipótese 2- f(x) não é periódica ou é periódica com p1> p:
Pelo enunciado: g(x) = g(x+p)  = f(x+a+p) + f(x+p) = g(x) = f(x+a) + f(x)  =>

f(x+a+p) + f(x+p)=f(x+a) + f(x) =>

f(x+a+p) - f(x+a) = f(x) - f(x+p) =>   

f(x) - f(x+p) =  - f(x+a) + f(x+a+p) 
para isso valer para qq x, só se :f(x) - f(x+p) = f(x+a+p) - f(x+a) = 0,
logo, f periódica de período p, ou constante.

Meio fraco, mas é o que me ocorre por hora...
 
[]´s Demétrio


----- Mensagem original ----
De: claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 13 de Dezembro de 2006 8:36:43
Assunto: [obm-l] Funcoes periodicas

Tres questoes:

1. Voce concorda que f:R -> R eh periodica se e somente se existe p > 0 tal que f(x+p) = f(x), para todo x em R?
Em caso afirmativo, voce deve concordar que a funcao caracteristica dos racionais (f(x) = 1 se x eh racional e 0 caso contrario) serah 
periodica, bastando tomar p igual a qualquer racional positivo. 

2. Voce ainda mantem sua resposta original para a questao 1?

3. Sejam f:R -> R, g:R -> R, e a pertencente a R tais que:
g(x) = f(x+a) + f(x), para todo x em R. 
Seja p o menor real positivo tal que g(x+p) = g(x), para todo x em R.
(ou seja, g eh periodica com periodo fundamental p e evitamos o problema da questao 1)
Prove ou de um contra-exemplo: f eh periodica de periodo p.


[]s,
Claudio.


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