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x^3 = y^2 + 2 Era: [obm-l] Problema de teoria dos numeros



Oi, Paulo:
 
De fato, existem pelo menos duas soluções: (3,5) e (3,-5).
 
Seja (a,b) tal que a^3 = b^2 + 2.
Olhando a equação mod 2, concluímos que que a e b são ambos ímpares.
 
O anel A = Z[raiz(-2)] é um domínio euclidiano (com norma N(x+yraiz(-2)) = x^2 + 2y^2) ==>
A é um domínio fatorial onde os únicos invertíveis são 1 e -1.
 
Em A, podemos escrever a^3 = (b - raiz(-2))(b + raiz(-2)).
Seja u = mdc(b + raiz(-2),b - raiz(-2)) em A
Então u | b + raiz(-2)  e  u | 2raiz(-2) ==>
N(u) | N(2raiz(-2)) = 8 ==> N(u) = 1, 2, 4 ou 8.
N(u) | N(b + raiz(-2)) = b^2 + 2 = ímpar ==> N(u) é ímpar.
Logo, N(u) = 1 ==> u = +/-1 ==> b + raiz(-2) e b - raiz(-2) são primos entre si.
 
Como A é um domínio fatorial, isso implica que b - raiz(-2) e b + raiz(-2) são cubos perfeitos em A, ou seja, existem x e y em Z tais que:
(x + yraiz(-2))^3 = b + raiz(-2) ==>
x^3 + 3x^2yraiz(-2) - 6xy^2 - 2y^3raiz(-2) = b + raiz(-2) ==>
(igualando as partes reais e imaginárias correspondentes)
x^3 - 6xy^2 = b  (i)    e   3x^2y - 2y^3 = 1  (ii)
 
(ii) pode ser escrita como  y(3x^2 - 2y^2) = 1 ==>
y | 1 ==> y = 1 ou  y = -1.
y = 1 ==> 3x^2 - 2 = 1 ==> 3x^2 = 3 ==> x = +/-1
y = -1 ==> 3x^2 - 2 = - 1 ==> 3x^2 = 1 ==> não há soluções
 
De (i), obtemos:
x = 1; y = 1 ==> b = -5 ==> a = 3
x = -1; y = 1 ==> b = 5 ==> a = 3
 
Logo, as únicas soluções são mesmo (3,5) e (3,-5).
 
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 4 Dec 2006 23:45:57 +0000
Assunto: RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros

Mostre que  a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros.