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Re: [obm-l] Binomiais e integral....
oi Carlos,
você pode calcular essa integral seguindo as idéias do livro de Cálculo vol. II do Simmons, na seção de título "Produto de Wallis".
Observe esse resultado e a relação com uma observação feita por Claudio Buffara no email enviado a esta lista (abaixo)
Abraço
Ary
Carlos Gomes <cgmat@digizap.com.br> escreveu: Alguém tem alguma sugestão....?
Mostre que Binomial(2k,k)=2/pi . integral (de 0 a pi/2) de (2.senx)^(2k) dx?
Valew, Cgomes
Tome m = 3 e os inteiros consecutivos 5, 6 e 7.
Pelo seu argumento, a_1 = 6 eh o unico que eh divisivel por 2 e 3.
5 e 7 sao divisiveis apenas por 1 (alem disso, o k nao eh o mesmo para
todos os a_i).
A solucao padrao desse problema (antiquissimo) consiste em observar
que:
(p+1)(p+2)....(p+m)/m! = Binom(p+m,m) = inteiro.
[]s,
Claudio.
---------- Cabeçalho original
-----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 24 Nov 2006 15:07:20 -0200
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões
> Olá,
>
> sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes
numeros é divisivel por m!...
>
> como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de
representantes modulo m..
> deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei:
>
> a_1 = km
> a_2 = km + 1
> a_3 = km + 2
> .
> .
> a_m = km + (m-1)
>
> isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por
diante.
>
> assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos:
> k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m
>
> temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1
> mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m
> assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1)
> para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante..
> novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m...
> isto é, podemos reordena-los de modo que:
> b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1...
>
> seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1,
m-2, ... 2 e 1.. logo, é divisivel por m!
>
> se tiver algo errado, aguardo correcoes
> abracos,
> Salhab
>
>
>
> ----- Original Message -----
> From: ivanzovisk
> To: obm-l
> Sent: Friday, November 24, 2006 10:15
AM
> Subject: [obm-l] Duas Questões
>
>
> 1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e
consecutivos é divisivel por m!
>
>
>
> 2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas
formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam
do mesmo par?
>
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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