[obm-l] Questao 2 da OBM-U 2006

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Seja R um anel comutativo com 1.
Seja SL(R) o grupo das matrizes 2x2 com entradas em R e determinante igual a 1 .
O problema pede que se calcule |SL(Z_n)|, com n inteiro >= 2.

A ideia eh provar que se m e n sao inteiros positivos primos entre si, entao:
|SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|.

Sejam as funcoes:
g:SL(Z) -> SL(Z_mn)  e  h:SL(Z) -> SL(Z_m) x SL(Z_n) dados por:
g(X) = X mod mn   e  h(X) = (X mod m,X mod n)
(ou seja, cada entrada de g(X) eh igual a entrada de X reduzida mod mn. Definicao analoga para cada componente de h(X)).

Eh facil ver que g e h sao homomorfismos.
Basta notar que, para todo n em N: 
i) se det(X) = 1, entao det(X) == 1 (mod n), e
ii) XY mod n = (X mod n)(Y mod n).

g eh claramente sobrejetor.
h tambem eh, pois dadas A em SL(Z_m) e B em SL(Z_n), o TCR garante a existencia de X em SL(Z) tal que:
X mod m = A  e  X mod n = B.

X pertence a ker(h) <==>
h(X) = (I,I) <==> 
X mod m = I  e  X mod n = I <==>
X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod m); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod m);
X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod n); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod n) <==>
X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod mn); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod mn) <==>
X mod mn = I <==>
g(X) = I <==>
X pertence a ker(g).

Logo, ker(g) = Ker(h).

O teorema dos isomorfismos diz entao que:
SL(Z_mn) ~ SL(Z)/ker(g) = SL(Z)/ker(h) ~ SL(Z_m) x SL(Z_n).

Em particular, |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|.

***

A seguir, vamos calcular o valor de |SL(Z_(p^k))|, onde p eh primo e k eh inteiro positivo.

k = 1: 
Sabemos que |SL(Z_p)| = |GL(Z_p)|/|Z_p*| = (p^2-1)(p^2-p)/(p-1) ==>
|SL(Z_p)| = p^3 - p = p^3(1 - 1/p^2).
 
Hipotese de inducao:
Para k >= 1, |SL(Z_(p^k))| = p^(3k)(1 - 1/p^2)

Seja a funcao f:SL(Z_p^(k+1)) -> SL(Z_p^k) dada por g(X) = X mod p^k. 
(ou seja, cada entrada de g(X) eh igual a entrada correspondente de X reduzida mod p^k)
Eh facil ver que f eh um homomorfismo sobrejetor.
X pertence a Ker(f) ==>
f(X) = matriz identidade em SL(Z_p^k) ==>
X mod p^k = I ==>
X = I + p^kM.
onde M = matriz 2x2 com entradas em Z_p e tal que:
det(X) = det(I + p^kM) == 1 (mod p^(k+1)).

X(i,j) = I(i,j) + p^kM(i,j),  1 <= i, j <= 2 ==>
det(X) == 
X(1,1)X(2,2) - X(1,2)X(2,1) == 
(1 + p^kM(1,1))(1 + p^kM(2,2)) - (0 + p^kM(1,2))(0 + p^kM(2,1)) ==
1 + p^k(M(1,1) + M(2,2)) + p^(2k)(M(1,1)M(2,2) - M(1,2)M(2,1)) ==
1 + p^k(M(1,1) + M(2,2)) == 1 (mod p^(k+1))  
(pois k+1 <= 2k e, portanto, p^(k+1) | p^(2k) ) ==>
M(1,1) + M(2,2) == 0 (mod p)

M(1,2) e M(2,1) podem ser escolhidas arbitrariamente em Z_p.
Uma vez que M(2,2) == -M(1,1) (mod p), a escolha de M(1,1) fixa automaticamente o valor de M(2,2).
Logo, M pode ser escolhida de p^3 maneiras distintas ==>
|ker(f)| = p^3 ==>
|SL(Z_p^(k+1))| = |ker(f)||SL(Z_p^k)| = p^3p^(3k)(1 - 1/p^2) = p^(3(k+1))(1 - 1/p^2).

***

De posse das identidades:
|SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)| se mdc(m,n) = 1
e
|SL(Z_(p^k))| = p^(3k)(1 - 1/p^2),
concluimos que se n = Produto(i=1...r) p_i^x_i, 
onde os p_i's sao primos distintos e os x_i's inteiros nao negativos, entao:

|SL(Z_n)| = 
Produto(i=1...r) |SL(Z_p_i^x_i)| = 
Produto(i=1..r) p_i^(3x_i)(1 - 1/p_i^2) =
Produto(i=1...r) (p_i^x_i)^3 * Produto(i=1...r) (1 - 1/p_i^2) =
n^3*Produto(p|n;p primo) (1 - 1/p^2).


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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