Re: [obm-l] Geometria - Triangulo is�sceles

[Edson Ricardo de Andrade Silva <latino@xxxxxxxxxx>]

On Mon, 20 Nov 2006, Iuri wrote:

> Num triangulo is�sceles ABC, tra�a-se a altura relativa ao v�rtice A. Do
> ponto de intersec��o H dessa altura com BC, � tra�ada uma perpendicular ao
> labo AB, sendo D o ponto de intersec��o da perpendicular com este lado.
> Sendo M o ponto m�dio de DH, prove que AM e CD sao perpendiculares.
>
> Algu�m tem uma solu��o boa pra esse problema?
>
> Iuri
>

Essas questoes quase sempre sao liquidadas quando se tra�a a reta 
certa....

Seja N o ponto medio do segmento HC.

Provar que AM e CD sao perpendiculares � equivalente a provar que AM e MN 
s�o perpendiculares, uma vez que CD e MN s�o paralelos (lembre-se, M e N 
s�o ppntos m�dios de DH e HC, respectivamente).

Observe os triangulos ADH e AHC. Eles sao semelhantes (por que?). Logo:

1) <DAM = <HAN;
2) AD/AM = AH/AN

<MAN = <MAH + <HAN = (por 1)  = <MAH + <DAM = <DAH ----> 3)

Por 2) e por 3) concluimos que os triangulos ADH e AMN s�o semelhantes, 
logo <AMN = <ADH = 90.