Re: [obm-l] Geometria - Triangulo isósceles

[Edson Ricardo de Andrade Silva <latino@xxxxxxxxxx>]

On Mon, 20 Nov 2006, Iuri wrote:

> Num triangulo isósceles ABC, traça-se a altura relativa ao vértice A. Do
> ponto de intersecção H dessa altura com BC, é traçada uma perpendicular ao
> labo AB, sendo D o ponto de intersecção da perpendicular com este lado.
> Sendo M o ponto médio de DH, prove que AM e CD sao perpendiculares.
>
> Alguém tem uma solução boa pra esse problema?
>
> Iuri
>

Essas questoes quase sempre sao liquidadas quando se traça a reta 
certa....

Seja N o ponto medio do segmento HC.

Provar que AM e CD sao perpendiculares é equivalente a provar que AM e MN 
são perpendiculares, uma vez que CD e MN são paralelos (lembre-se, M e N 
são ppntos médios de DH e HC, respectivamente).

Observe os triangulos ADH e AHC. Eles sao semelhantes (por que?). Logo:

1) <DAM = <HAN;
2) AD/AM = AH/AN

<MAN = <MAH + <HAN = (por 1)  = <MAH + <DAM = <DAH ----> 3)

Por 2) e por 3) concluimos que os triangulos ADH e AMN são semelhantes, 
logo <AMN = <ADH = 90.