---------- Cabeçalho original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 10 Nov 2006 09:18:13 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R
> claudio.buffara wrote:
> > R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e nao-degenerados.
> > Por exemplo, para cada a em R, os segmentos ligando os pontos (a,0) e (a,1) sao disjuntos e em quantidade nao-enumeravel.
> > Assim, as imagens por f de quaisquer dois destes segmentos serao intervalos compactos disjuntos e nao-degenerados.
> > No entanto, R contem no maximo uma quantidade enumeravel de tais intervalos (tome um racional em cada um deles).
> > Essa contradicao prova que nao pode haver uma funcao injetiva continua de R^2 em R.
> >
> >
> Gostei da prova porque é bastante intuitiva. Você deve conhecer as
> curvas de
> Peano. Elas foram uma tentativa de achar
> uma função contínua e bijetiva de R em R^2 (você provou neste exemplo
> que não existe
> uma injetiva de um intervalo de R em R^2).
> Não existe obviamente uma função bijetiva de um intervalo de R em um
> retângulo de R^2
> porque o infiinito de R^2 é maior que o de R (um tem cardinalidade c^2 e
> outro tem cardinalidade
> c, respectivamente).
Isso nao e verdade. c^2 = c, ou seja, existe uma bijecao entre (0,1) e (0,1)x(0,1).
De fato, existe uma funcao injetiva de (0,1)x(0,1) em (0,1).
Todo x em (0,1) tem uma representacao decimal 0,a1a2a3....
Se a partir de um dado n, todos os a_n sao 9, escolha a representacao finita equivalente (ou seja, a inves de x = 0,16999999... use x =
0,170000...).
Defina f( 0,a1a2a3a4... , 0,b1b2b3b4...) = 0,a1b1a2b2a3b3... . E facil ver que f e injetiva.
Desafio (nao muito dificil...): Prove que f nao e sobrejetiva.
Obviamente a funcao g: (0,1) -> (0,1)x(0,1) dada por g(x) = (x,1/2) e injetiva.
Logo, por Schroder-Bernstein, existe uma bijecao entre (0,1) e (0,1)x(0,1).
O que eu provei e que nao existe uma bijecao CONTINUA entre estes dois conjuntos.
A curva de Peano e um exeplo de sobrejecao continua de [0,1] em [0,1]x[0,1].
[]s,
Claudio.
Vi uma prova uma vez desse fato no livro de
> topologia do Lipschutz .
> Dá uma olhada neste link computacional que usa uma função recursiva para
> desenhar esse tipo de
> curva.
>
> http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/generate/peano.html
>
> > O argumento acima e facilmente generalizavel para o caso geral proposto pelo Artur.
> >
> > ***
> >
> > Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao:
> > Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e f:[a,b]->[c,d] e uma bijecao continua.
> > Temos que ter necessariamente f(a) = c ou d (e f(b) = d ou c)?
> >
> Comecei imaginando por exemplo uma bijeção de [0,1] em [0,1]. O que
> vale para essa
> bijeção entre esses dois intervalos deve valer para outros. Podemos
> identificar cada
> elemento de [0,1] com uma sequencia infinita:
>
> 0.c_1 c_2 c_3 c_4 ... <==> s = {c_1,c_2,c_3,...}
>
> onde os c_i são números de 0 a 9.
>
> Podemos facilmente concluir assim que trocando elementos da sequencia
> (ex: c_1 por c_4, etc)
> podemos obter uma bijeção, mas ela não será contínua. Para ser
> contínua, pontos vizinhos
> tem que ser levado em pontos vizinhos, então só poderemos trocar pontos
> finais da sequência.
>
> Caso contrário, não poderemos sempre encontrar sempre qualquer
> eps> 0 tal que se |x-x_1| < delta então | f(x) - f(x_1)| < eps.
>
> Cada permutação de elementos da sequência gera uma outra sequência.
> Assim formando
> um conjunto de permutações com os n primeiro elementos da sequência
> original obtemos
> n! funções (não necessáriamente contínuas). De fato podemos notar que a
> única função contínua
> é a identidade porque não temos ainda a permutação que inverte todos
> os elementos porque nosso
> n ainda é finito.
> Agora supomos que n vá para o infiinito. Teremos n! funções e duas
> que são contínuas
> a identidade e a que inverte todos os elementos. Bom... não sei se isso
> convence mas acho
> que a resposta a pergunta do Cláudio é SIM.
>
> []s
> Ronaldo.
>
>
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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