Re:[obm-l] Problema nos inteiros (correcao)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

> 
> Sejam a, b, c números racionais tais que 3a, 6b, 6c, a^3+2b^3+4c^3-6abc são inteiros. Podemos concluir que a, b, c são inteiros?
> 
> 
> Tertuliano
> 
>
Eu tinha complicado e feito bobagem no fim da solucao anterior.
Aqui vai a correcao (mas continuo achando que deve haver uma solucao mais elegante)
 
Por hipotese, existem inteiros m, n e p tais que a = m/3, b = n/6, c = p/6.

Tambem por hipotese, a^3+2b^3+4c^3-6abc = 
m^3/27+n^3/108+p^3/54-mnp/18 =
(n^3+2p^3+4m^3-6npm)/108 = k = inteiro ==>

n^3+2p^3+4m^3-6npm = 108k ==>
n e par ==> 
n = 2r ==> 
8r^3+2p^3+4m^3-12rpm = 108k ==> 

p^3+2m^3+4r^3-6pmr = 54k ==>
p e par ==> 
p = 2s ==> 
8s^3+2m^3+4r^3-12smr = 54k ==>

m^3+2r^3+4s^3-6smr = 27k (%)   
e   
a = m/3,  b = r/3,  c = s/3.

============================================
 
Olhando (%) mod 3 (e usando pequeno Fermat): 
m-r+s == 0  (mod 3) ==> 
m == r-s (mod 3) ==>  
m^2 == r^2+s^2-2rs (mod 3) ==> 
m^2 - 2rs == r^2+s^2-4rs == r^2+s^2+2rs == (r + s)^2 (mod 3) (*)

==========================================

Se r+s <> 0 (mod 3), entao (r+s)^2 == 1 (mod 3). 
Nesse caso, (*) implica que 2rs == m^2 - 1 == (m-1)(m+1) (mod 3) ==> 
2mrs == m(m-1)(m+1) == 0 (mod 3) 
(o produto de tres inteiros consecutivos e sempre multiplo de 3) ==> 
6mrs == 0 (mod 9).

Olhando (%) mod 9: m^3+2r^3+4s^3 == 0 (mod 9).

Agora, se x == 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (mod 9), entao:
x^3 == 0, 1, 8, 0, 1, 8, 0, 1, 8 (mod 9);
2x^3 == 0, 2, 7, 0, 2, 7, 0, 2, 7 (mod 9);
4x^3 == 0, 4, 5, 0, 4, 5, 0, 4, 5 (mod 9).

Analisando todas as 27 possibilidades, concluimos que so pode ser: 
m == r == s == 0 (mod 3) ==>
r+s == 0 (mod 3) ==>
contradicao (pois supusemos inicialmente que r+s <> 0 (mod 3) ) ==>
so pode ser r+s == 0 (mod 3).

==================================================

m - r + s == 0 (mod 3) e r == -s (mod 3) ==>
m == -r == s (mod 3) ==>
m = 3x+u,   r = 3y-u,   s = 3z+u   (x,y,z em Z;  u em {-1,0,1}).

m = 3x+u ==>  m^3 =  27x^3   +   27x^2u   +  9xu^2   +   u^3
r = 3y-u    ==> 2r^3  =  54y^3    -   54y^2u   +  18yu^2  -   2u^3
s = 3z+u   ==> 4s^3 =  108z^3  +  108z^2u  +  36zu^2  +  4u^3
                 -6mrs = -162xyz - 54u(xy-xz-yz) - 18u^2(y-x-z) - 6u^3

Somando e usando (%):
m^3 + 2r^3 + 4s^3 - 6mrs = 27v - 3u^3 = 27k  (v em Z) ==>
u^3 = 9(v - k) ==> 
u^3 == 0 (mod 9) ==> 
u = 0, pois u pertence a {-1,0,1} ==>
m, r, s sao multiplos de 3.

Mas a = m/3, b = r/3, c = s/3 ==>
a, b, c sao inteiros.

[]s,
Claudio.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================