[obm-l] Re: [obm-l]FunçãoLipschitz em um subintervalo

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi Nicolau

Conforme mostra seu exemplo, diferenciabilidade em I nao implica que f seja localmente Lipschitz em I. Mas, de fato, implica a existência de algum subintevalo I' de I na qual f seja Lipschitz. Para ver isto, a prova que me ocorreu baseia-se nos seguintes fatos conhecidos da Analise: 

(1) - Se f eh derivavel em I, entao  f eh Lipschitz em I se, e somente se, a sua derivada f' for limitada em I. Se M = supremo {|f'(x)| | x em I} entao M e anmenor constante de Lipschitz de f em I.

(2) - A derivada f' eh o limite de uma sequencia (g_n) de funcoes continuas em I.

(3) Se (g_n) eh uma sequencia de funcoes continuas definidas em um espaco de Baire B (logo em um espaco metrico completo), tem valores em R (ou mesmo nos complexos) e converge ponto a ponto (nao precisa ser uniformemente) para uma funcao g, entao existe um subconjunto A, aberto em B,  no qual a sequencia (g_n) eh uniformemente limitada por algum M>0. Isto implica imediatamente que g seja limitada em A  por M.


Particularizando para o noso caso, temos que o intervalo I de R eh um espaco de Baire e que f' eh o limite de uma sequencia de funcoes (g_n), continuas em I e com valores em R. Segundo (3), segue-se que I contem um intervalo aberto I' no qual f' eh limitada por algum M>0. E agora, recorrendo-se a (1) concluimos que |f(u) - f(v)| <= M |u - v| para todos u e v de I', ficando assim provada a proposicao.

Alguns acham que eh uma prova tenebrosa e ateh estupida, mas acho que estah certo.

Abracos
Artur    


----- Original Message ----
From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, November 1, 2006 3:46:57 PM
Subject: Re: [obm-l]FunçãoLipschitz em um subintervalo


On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e
> talvez seja mesmo):
> 
> Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R.
> Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.

Eu não tenho certeza se este fato é verdadeiro mas se for acho
que a demonstração não deve ser tão simples assim. 

Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0
onde g: R -> R é uma função suave de crescimento rápido.
Fora de x = 0, f é claramente suave. Em x = 0, f é derivável.
Mas é fácil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores
arbitrariamente grandes. Assim, f não é Lipschitz em nenhum
subintervalo cujo fecho inclua 0.

Este exemplo não refuta o fato mas mostra que diferenciabilidade
nem sempre implica localmente Lipschitz.

A classe das funções diferenciáveis não é, aliás, das mais bem comportadas.
Por isso as pessoas preferem estudar C^1 (derivada contínua)
ou H^1 (Sobolev, derivada em L^2), que são espaços de Banach e Hilbert,
respectivamente, com normas bastante naturais. Nestes dois espaços
o problema análogo é fácil.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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