[obm-l] Raízes duplas em intervalos

["J. Renan" <jrenan@xxxxxxxxx>]

Olá amigos da lista,

Queria pedir ajuda na seguinte questão:

Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ?


Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja mais inteligente que a solução abaixo?






Resolução

x^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)
Onde a e b são as raízes
x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2b

Isso resulta em

b+2a = -3 -> b = -3 - 2a        (I)
2ab+a^2 = -2                       (II)
d = - a^2b                            (III)

Substituindo b (I) em (II)

2a(-3-2a) + a^2 = -2

para a pertencente a ]0,1[
a = (SQRT(15)-3)/3

b = (-3 -2*sqrt(15))/3

e d = - a^2b
logo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9







Agradeço antecipadamente pela ajuda.

J.Renan