[obm-l] Re:[obm-l] Grupo solúvel

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Sat, 21 Oct 2006 00:56:12 -0200
Assunto: [obm-l] Grupo solúvel

> Olá, colegas. Estou provando que todo grupo de ordem menor do que 60 é
> solúvel. Como eu posso mostrar que um grupo G, |G|=p^2.q^2, com p e q primos
> distintos, é solúvel?
> 
> thiago.
> 
> 

Suponhamos que p > q. 
Por Sylow, sabemos que: 
1. G tem um subgrupo H de ordem p^2;
2. Se G tem n_p subgrupos de ordem p^2, entao n_p divide q^2 e n_p == 1 (mod p).

Se n_p = 1, entao H eh normal em G e G/H tem ordem q^2.
Mas todo grupo cuja ordem eh o quadrado de um primo eh abeliano.
Assim, G eh soluvel, pois tem a serie {e} <= H <= G com H/{e} e G/H abelianos (ordens p^2 e q^2, respectivamente).

Se n_p > 1, entao n_p = kp + 1, com k >= 1.
n_p divide q^2 ==> 
kp + 1 divide q^2 ==>
kp + 1 = q^2, pois p > q ==>
p divide q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1) ==>
p divide q - 1 ou p divide q + 1 ==>
p divide q + 1.
Como p e q sao primos distintos, isso soh eh possivel se q = 2 e p = 3 ==>
|G| = 2^2*3^2 = 36

Nesse caso, por Sylow novamente, G tem um subgrupo H de ordem 9.
Seja X = conjunto das classes laterais a esquerda de H em G.
|X| = [G:H] = 4.
Consideremos a acao G x X --> X que leva (g,xH) em gxH, para todo g em G e todo xH em X.
Essa acao induz um homomorfismo nao trivial de G em S_X = grupo das permutacoes de X.
Seja K o nucleo desse homomorfismo.
Sabemos que G/K eh isomorfo a um subgrupo de S_X.
Logo, |G/K| = |G|/|K| divide |S_X|, ou seja 36/|K| divide 4! = 24.
Isso implica que 3 divide |K| ==> K eh um  subgrupo normal nao-trivial de G.
|K| pode ser 3, 6, 9, 12 ou 18 ==> |G/K| = 12, 6, 4, 3 ou 2

Em cada um desses casos, tanto K quanto G/K sao soluveis, pois:
- grupos de ordem 3 e 9 sao abelianos e, portanto, soluveis;
- grupos de ordem 6 tem um subgrupo de ordem 3 (Cauchy), o qual eh normal (indice 2), o que resulta numa serie cujos fatores tem 
ordens 3 e 2 e sao, portanto, abelianos;
- grupos de ordem 12 tem um subgrupo de ordem 4 (Sylow) e um de ordem 3 (Cauchy). Um destes tem que ser normal pois, se nao for, 
Sylow implica que vao existir 3 subgrupos de ordem 4 e 4 de ordem 3. Estes ultimos contem no total 8 elementos de ordem 3. 
Juntamente com a identidade, isso nos dah 9 elementos. Um dos subgrupos de ordem 4 contem 3 elementos de ordem 2 ou 4. Isso jah 
totaliza 12, mas ainda precisamos contar os elementos de ordem 2 ou 4 dos outros dois grupos de ordem 4. Ou seja, esta situacao nao 
ocorre. Assim, teremos uma serie cujos fatores tem ordem 4 e 3 e sao, portanto, abelianos;
- grupos de ordem 18 tem um subgrupo de ordem 9 (Sylow), o qual eh normal (indice 2), o que resulta numa seria cujos fatores tem 
ordens 9 e 2 e sao, portanto, abelianos.

Como um grupo G que tem um subgrupo normal K tal que K e G/K sao soluveis eh um grupo soluvel, concluimos que G eh soluvel 
tambem neste caso (ordem = 36).

Conclusao: grupos de ordem p^2q^2 (p e q primos distintos) sao soluveis.

[]s,
Claudio.




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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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