|
Acho
que isso eh o limite da sequencia obtida aplicando-se
recursivamente a funcao f(u) = sqrt(6 + sqrt(u)). Como esta
funcao � continua para u >0, se esta sequencia convergir para um limite
x, entao x eh ponto fixo de f e, portanto, raiz da equacao x =
sqrt(6 + sqrt(x)). Podemos mostrar que esta seq. eh limitada e
monotonicamente decrescente, de modo que converge. Mas seu limite eh
=~2,768364.
Artur
x = sqrt(6 + sqrt(6 + sqrt(6 + ...))).
foi
essa que eu quis fazer
Eleve ao quadrado a equa��o x=
sqr...
subtraia da equa��o x
x^2-x-6=0
ra�zes -2 e 3 so serve 3 ent�o resposta
3/5
abra�os
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, September 12, 2006 11:34
PM
Subject: Re: [obm-l] ajuda
Oi.
Resposta r�pida: t� estranha essa pergunta.
Vou
inicialmente explicar pq est� estranha essa pergunta, e depois mostrar como
a gente pode reformular ela para que ela tenha sentido e possa ser
respondida.
Quando vc utiliza "..." numa soma, vc precisa deixar bem
claro o que isso significa. Em alguns casos, o significado � evidente, por
exemplo:
x = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Claramente, x � a soma
da PG de razao 1/2, com termo inicial igual a 1.
Ent�o x � um n�mero
real, j� que soma de PG com raz�o menor que 1, em m�dulo, converge para a_1
/ (1 - q). Em particular, x = 2.
Agora podemos definir um n�mero y = x +
2, pois o sinal "+" s� faz sentido (neste contexto) quando colocado entre
n�meros reais.
Quero dizer o seguinte: vc n�o pode somar 2 a uma
coisa que n�o � um n�mero, n�o pode somar 2 a algo que n�o
exista.
Veja:
x = sqrt(6) + sqrt(6) + sqrt(6) + ...
O
jeito mais natural de se definir esse "..." seria assim: "vai somando
sqrt(6) sem parar". Matematicamente, precisamos dar algum grau de rigor a
essa express�o, da seguinte maneira:
Seja a_n uma seq��ncia definida
por a_n = sqrt(6).
Seja agora s_n uma outra seq��ncia definida por s_n =
a_1 + a_2 + ... + a_n (note que aqui o "..." est� bem definido e s_n �
um n�mero real, que vc pode explicitar facilmente)
Para evitar usar os
"...", vc pode tamb�m dizer que s_n = sum (i=1..n) a_i, ou seja, o n-�simo
elemento da seq��ncia s_n � a soma dos n primeiros elementos da seq��ncia
a_n.
Dizemos que s_n � a soma parcial da s�rie num�rica associada �
seq��ncia a_n.
Pra que toda essa enrola��o?
Pra dizer o seguinte:
o seu n�mero x = sqrt(6) + sqrt(6) + ... pode ser definido como o limite da
seq��ncia s_n, quando n tende a infinito. Agora temos uma defini��o rigorosa
do x.
MAS quanto vale o limite? O limite n�o existe, pois n�o
existir� algum n�mero real do qual vc v� se aproximando ao avan�ar mais na
seq��ncia s_n, ela vai sempre crescendo indefinidamente. Ent�o podemos ou
dizer que o limite n�o existe, ou ent�o que � infinito (que � apenas uma das
raz�es pelas quais um limite pode n�o existir).
Assim, o seu
"n�mero" x n�o � um n�mero, e portanto n�o faz sentido colocar o sinal de
"+" entre x e o 2.
Se vc quiser viajar um pouco, vc at� tem como
definir esse x como um n�mero hiperreal (que � uma extens�o dos reais para
englobar numeros infinitamente grandes (e inclusive classifica-los
ordenadamente) e infinitamente pequenos), e a� vc diz que x e 2 s�o n�meros
hiperreais e pode fazer todas as suas contas do tipo x + 2 e x / y.
Mas isso � viagem demais e eu n�o sei trabalhar com hiperreais. Esse
conjunto j� foi discutido h� algum tempo aqui na lista, e talvez algu�m com
mais conhecimento possa explicar para voc�.
A gente
pode tentar reformular sua pergunta para dar algum significado e sentido ao
exerc�cio.
N�o defina x = sqrt(6) + sqrt(6) + ..., pq, como j� vimos,
isso n�o � n�mero, a� n�o podemos somar 2 a ele.
Defina entretando o
n�mero r_n como sendo a raz�o entre os n�meros x_n e y_n, onde:
x_n =
sqrt(6) + sqrt(6) + ... + sqrt(6) (n vezes)
y_n = x_n
+ 2
Note que agora x_n est� bem definido: x_n = n * sqrt(6), que � um
n�mero real, para qualquer n natural.
Da mesma forma, y_n est� vem
definido e vale n * sqrt(6) + 2.
Alem disso, definidos, assim, os n�meros
de forma bem parecida com o que vc escreveu, ent�o acho que podemos acordar
que seja uma interpreta��o razo�vel para o enunciado.
Ent�o r_n =
n*sqrt(6) / (n*sqrt(6) + 2)
Agora sua pergunta �: quanto vale lim
(n->oo) r_n?
Para calcular tal limite, divida por n em cima e em
baixo e use propriedades b�sicas de limite:
r_n = sqrt(6) / (sqrt(6) +
2/n), para todo n >= 1.
lim sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n) = 1, j� que 2/n
tende a 0 e o denominador tende portanto a sqrt(6), e o numerador tende a
sqrt(6).
Outra maneira de reformular a pergunta, usando
uma interpreta��o semelhante �quela do Tio Cabri, � escrever:
x = sqrt(6
+ sqrt(6 + sqrt(6 + ...))).
Acho que h� 2 ou 3 semanas houve aqui na
lista uma discuss�o a respeito de como calcular o valor desse tipo de
seq��ncias, em que falei de um teorema pra isso. Procure nos seus arquivos,
ou nos do site do Prof. Nicolau, moredador da lista. O endere�o est� no
final do email.
Abra�o
Bruno
ps: tio cabri,
definindo x_n = sqrt(6) . sqrt(6) . ... . sqrt(6), e y_n = x_n + 2,
temos:
r_n = x_n / y_n = sqrt(6)^n / (sqrt(6)^n +
2)
Divida por sqrt(6)^n, em cima e em baixo:
r_n = 1 / (1 + 2 /
sqrt(6)^n)
Logo, o limite tamb�m � igual a 1, e n�o 3/5.
Acho que
vc quis dizer que fez o exerc�cio como se fosse sqrt(6*sqrt(6*sqrt(6* ...
))). O jeito de resolver isso, "estando no bar", � fazer:
x^2 = 6 *
sqrt(6 * sqrt(6 * ...)) = 6x
Ent�o x = 0 ou x = 6, a� y = 8, e a raz�o �
8/6 = 4/3.
Para justificar isso, veja a discuss�o a que me referi
acima.
On 9/12/06, Aron
<tiaron@oi.com.br> wrote:
Ol�
algu�m sabe como resolver esta?
Se x=sqrt(6)+sqrt(6)+sqrt(6)+... e y=x+2, ent�o qual � a
raz�o entre x e y?
grato.
Aron
--
Bruno Fran�a dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0
|