Vou inicialmente explicar pq está estranha essa pergunta, e depois mostrar como a gente pode reformular ela para que ela tenha sentido e possa ser respondida.
Quando vc utiliza "..." numa soma, vc precisa deixar bem claro o que isso significa. Em alguns casos, o significado é evidente, por exemplo: x = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... Claramente, x é a soma da PG de razao 1/2, com termo inicial igual a 1.
Então x é um número real, já que soma de PG com razão menor que 1, em módulo, converge para a_1 / (1 - q). Em particular, x = 2. Agora podemos definir um número y = x + 2, pois o sinal "+" só faz sentido (neste contexto) quando colocado entre números reais.
Quero dizer o seguinte: vc não pode somar 2 a uma coisa que não é um número, não pode somar 2 a algo que não exista.
Veja:
x = sqrt(6) + sqrt(6) + sqrt(6) + ...
O jeito mais natural de se definir esse "..." seria assim: "vai somando sqrt(6) sem parar". Matematicamente, precisamos dar algum grau de rigor a essa expressão, da seguinte maneira:
Seja a_n uma seqüência definida por a_n = sqrt(6). Seja agora s_n uma outra seqüência definida por s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n (note que aqui o "..." está bem definido e s_n é um número real, que vc pode explicitar facilmente)
Para evitar usar os "...", vc pode também dizer que s_n = sum (i=1..n) a_i, ou seja, o n-ésimo elemento da seqüência s_n é a soma dos n primeiros elementos da seqüência a_n.
Dizemos que s_n é a soma parcial da série numérica associada à seqüência a_n.
Pra que toda essa enrolação? Pra dizer o seguinte: o seu número x = sqrt(6) + sqrt(6) + ... pode ser definido como o limite da seqüência s_n, quando n tende a infinito. Agora temos uma definição rigorosa do x.
MAS quanto vale o limite? O limite não existe, pois não existirá algum número real do qual vc vá se aproximando ao avançar mais na seqüência s_n, ela vai sempre crescendo indefinidamente. Então podemos ou dizer que o limite não existe, ou então que é infinito (que é apenas uma das razões pelas quais um limite pode não existir).
Assim, o seu "número" x não é um número, e portanto não faz sentido colocar o sinal de "+" entre x e o 2.
Se vc quiser viajar um pouco, vc até tem como definir esse x como um número hiperreal (que é uma extensão dos reais para englobar numeros infinitamente grandes (e inclusive classifica-los ordenadamente) e infinitamente pequenos), e aí vc diz que x e 2 são números hiperreais e pode fazer todas as suas contas do tipo x + 2 e x / y.
Mas isso é viagem demais e eu não sei trabalhar com hiperreais. Esse conjunto já foi discutido há algum tempo aqui na lista, e talvez alguém com mais conhecimento possa explicar para você.
A gente pode tentar reformular sua pergunta para dar algum significado e sentido ao exercício.
Não defina x = sqrt(6) + sqrt(6) + ..., pq, como já vimos, isso não é número, aí não podemos somar 2 a ele. Defina entretando o número r_n como sendo a razão entre os números x_n e y_n, onde: x_n = sqrt(6) + sqrt(6) + ... + sqrt(6) (n vezes)
y_n = x_n + 2
Note que agora x_n está bem definido: x_n = n * sqrt(6), que é um número real, para qualquer n natural. Da mesma forma, y_n está vem definido e vale n * sqrt(6) + 2. Alem disso, definidos, assim, os números de forma bem parecida com o que vc escreveu, então acho que podemos acordar que seja uma interpretação razoável para o enunciado.
Então r_n = n*sqrt(6) / (n*sqrt(6) + 2)
Agora sua pergunta é: quanto vale lim (n->oo) r_n?
Para calcular tal limite, divida por n em cima e em baixo e use propriedades básicas de limite: r_n = sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n), para todo n >= 1.
lim sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n) = 1, já que 2/n tende a 0 e o denominador tende portanto a sqrt(6), e o numerador tende a sqrt(6).
Outra maneira de reformular a pergunta, usando uma interpretação semelhante àquela do Tio Cabri, é escrever:
x = sqrt(6 + sqrt(6 + sqrt(6 + ...))). Acho que há 2 ou 3 semanas houve aqui na lista uma discussão a respeito
de como calcular o valor desse tipo de seqüências, em que falei de um
teorema pra isso. Procure nos seus arquivos, ou nos do site do Prof.
Nicolau, moredador da lista. O endereço está no final do email.
Abraço Bruno
ps: tio cabri, definindo x_n = sqrt(6) . sqrt(6) . ... . sqrt(6), e y_n = x_n + 2, temos: r_n = x_n / y_n = sqrt(6)^n / (sqrt(6)^n + 2) Divida por sqrt(6)^n, em cima e em baixo:
r_n = 1 / (1 + 2 / sqrt(6)^n) Logo, o limite também é igual a 1, e não 3/5.
Acho que vc quis dizer que fez o exercício como se fosse sqrt(6*sqrt(6*sqrt(6* ... ))). O jeito de resolver isso, "estando no bar", é fazer:
x^2 = 6 * sqrt(6 * sqrt(6 * ...)) = 6x Então x = 0 ou x = 6, aí y = 8, e a razão é 8/6 = 4/3. Para justificar isso, veja a discussão a que me referi acima.