Vou inicialmente explicar pq est� estranha essa pergunta, e depois mostrar como a gente pode reformular ela para que ela tenha sentido e possa ser respondida.
Quando vc utiliza "..." numa soma, vc precisa deixar bem claro o que isso significa. Em alguns casos, o significado � evidente, por exemplo: x = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... Claramente, x � a soma da PG de razao 1/2, com termo inicial igual a 1.
Ent�o x � um n�mero real, j� que soma de PG com raz�o menor que 1, em m�dulo, converge para a_1 / (1 - q). Em particular, x = 2. Agora podemos definir um n�mero y = x + 2, pois o sinal "+" s� faz sentido (neste contexto) quando colocado entre n�meros reais.
Quero dizer o seguinte: vc n�o pode somar 2 a uma coisa que n�o � um n�mero, n�o pode somar 2 a algo que n�o exista.
Veja:
x = sqrt(6) + sqrt(6) + sqrt(6) + ...
O jeito mais natural de se definir esse "..." seria assim: "vai somando sqrt(6) sem parar". Matematicamente, precisamos dar algum grau de rigor a essa express�o, da seguinte maneira:
Seja a_n uma seq��ncia definida por a_n = sqrt(6). Seja agora s_n uma outra seq��ncia definida por s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n (note que aqui o "..." est� bem definido e s_n � um n�mero real, que vc pode explicitar facilmente)
Para evitar usar os "...", vc pode tamb�m dizer que s_n = sum (i=1..n) a_i, ou seja, o n-�simo elemento da seq��ncia s_n � a soma dos n primeiros elementos da seq��ncia a_n.
Dizemos que s_n � a soma parcial da s�rie num�rica associada � seq��ncia a_n.
Pra que toda essa enrola��o? Pra dizer o seguinte: o seu n�mero x = sqrt(6) + sqrt(6) + ... pode ser definido como o limite da seq��ncia s_n, quando n tende a infinito. Agora temos uma defini��o rigorosa do x.
MAS quanto vale o limite? O limite n�o existe, pois n�o existir� algum n�mero real do qual vc v� se aproximando ao avan�ar mais na seq��ncia s_n, ela vai sempre crescendo indefinidamente. Ent�o podemos ou dizer que o limite n�o existe, ou ent�o que � infinito (que � apenas uma das raz�es pelas quais um limite pode n�o existir).
Assim, o seu "n�mero" x n�o � um n�mero, e portanto n�o faz sentido colocar o sinal de "+" entre x e o 2.
Se vc quiser viajar um pouco, vc at� tem como definir esse x como um n�mero hiperreal (que � uma extens�o dos reais para englobar numeros infinitamente grandes (e inclusive classifica-los ordenadamente) e infinitamente pequenos), e a� vc diz que x e 2 s�o n�meros hiperreais e pode fazer todas as suas contas do tipo x + 2 e x / y.
Mas isso � viagem demais e eu n�o sei trabalhar com hiperreais. Esse conjunto j� foi discutido h� algum tempo aqui na lista, e talvez algu�m com mais conhecimento possa explicar para voc�.
A gente pode tentar reformular sua pergunta para dar algum significado e sentido ao exerc�cio.
N�o defina x = sqrt(6) + sqrt(6) + ..., pq, como j� vimos, isso n�o � n�mero, a� n�o podemos somar 2 a ele. Defina entretando o n�mero r_n como sendo a raz�o entre os n�meros x_n e y_n, onde: x_n = sqrt(6) + sqrt(6) + ... + sqrt(6) (n vezes)
y_n = x_n + 2
Note que agora x_n est� bem definido: x_n = n * sqrt(6), que � um n�mero real, para qualquer n natural. Da mesma forma, y_n est� vem definido e vale n * sqrt(6) + 2. Alem disso, definidos, assim, os n�meros de forma bem parecida com o que vc escreveu, ent�o acho que podemos acordar que seja uma interpreta��o razo�vel para o enunciado.
Ent�o r_n = n*sqrt(6) / (n*sqrt(6) + 2)
Agora sua pergunta �: quanto vale lim (n->oo) r_n?
Para calcular tal limite, divida por n em cima e em baixo e use propriedades b�sicas de limite: r_n = sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n), para todo n >= 1.
lim sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n) = 1, j� que 2/n tende a 0 e o denominador tende portanto a sqrt(6), e o numerador tende a sqrt(6).
Outra maneira de reformular a pergunta, usando uma interpreta��o semelhante �quela do Tio Cabri, � escrever:
x = sqrt(6 + sqrt(6 + sqrt(6 + ...))). Acho que h� 2 ou 3 semanas houve aqui na lista uma discuss�o a respeito
de como calcular o valor desse tipo de seq��ncias, em que falei de um
teorema pra isso. Procure nos seus arquivos, ou nos do site do Prof.
Nicolau, moredador da lista. O endere�o est� no final do email.
Abra�o Bruno
ps: tio cabri, definindo x_n = sqrt(6) . sqrt(6) . ... . sqrt(6), e y_n = x_n + 2, temos: r_n = x_n / y_n = sqrt(6)^n / (sqrt(6)^n + 2) Divida por sqrt(6)^n, em cima e em baixo:
r_n = 1 / (1 + 2 / sqrt(6)^n) Logo, o limite tamb�m � igual a 1, e n�o 3/5.
Acho que vc quis dizer que fez o exerc�cio como se fosse sqrt(6*sqrt(6*sqrt(6* ... ))). O jeito de resolver isso, "estando no bar", � fazer:
x^2 = 6 * sqrt(6 * sqrt(6 * ...)) = 6x Ent�o x = 0 ou x = 6, a� y = 8, e a raz�o � 8/6 = 4/3. Para justificar isso, veja a discuss�o a que me referi acima.