Re: [obm-l] Fatoriais

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Pedro Cardoso wrote:
> Olá, amigos da lista. Preciso da ajuda de vocês pra resolver essa daqui:
> Fica óbvio que, para n =1, (n^2)! = (n!)^2 = 1, e que, para n >=2 
> (maior ou igual a 2), depois de fazer alguns testes,
> (n^2)! > (n!)^2. Mas eu queria uma solução mais elegante, que não 
> abusasse de testes. Enfim, uma prova.
Você pode fazer infinitos testes; por aqui a gente chama isso de 
indução. Pro caso n=2 é facil né:

(2^2)! = 4! = 24 ; (2!) ^2 = 4^2=16
(2^2)! > (2!)^2

Agora suponha que é verdade para n=a, e vamos ver o que acontece pra a+1:

I. ((a+1)^2)! = (a^2+2a+1)! = (a^2)! .(a^2+1).(a^2+2)...(a^2+2a+1)

Como (a^2)!>(a!)^2, então

(a^2)! .(a^2+1).(a^2+2)...(a^2+2a+1) > (a!)^2.(a^2+1).(a^2+2)...(a^2+2a+1)

Eu nem preciso de tantos termos multiplicando, dois pra mim tá bom.
Sabemos que a^2+1 > a+1 e a^2+2 > a+1 , sempre que a>1;
daí segue que:

(a!)^2.(a^2+1).(a^2+2)...(a^2+2a+1) >
(a!)^2.(a^2+1).(a^2+2) >
II. (a!)^2.(a+1).(a+1) = ((a+1)!)^2

Comparando I com II:

((a+1)^2)! > ((a+1)!)^2, que é o que você queria demonstrar.

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Ricardo Bittencourt

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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