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Olá,
paulo = esposa + filha + filho, que é
um quadrado perfeito
pai = paulo + esposa + filha, que é
primo!
bom, paulo = x^2, esposa = y^2, filha = z^2, filho
= r^2, pai = t
x^2 = y^2 + z^2 + r^2, todos inteiros...
daqui, temos x > y.
t = x^2 + y^2 + z^2 é primo.... ou: t = 2 * (y^2 +
z^2) + r^2 é primo...
ou: t = 2x^2 - r^2
o unico par primo é 2.. logo: ou t = 2,
ou, t é impar...
como é um absurdo ser 2, entao, o t é impar,
logo, r^2 é impar... logo: r é impar!
ok....
como x^2 é a idade do paulo, e y^2 é a idade da
esposa, entao:
z < x, r
< x, z < y, r < y...
como t é a idade do pai de paulo, entao: x^2 <
t
mas todos sao menores que 120, logo, sao menores
que 121.. assim:
x < 11, y < 11, z < 11, r < 11
...
mas r é impar, logo: r = 1, 3, 5, 7, 9
...
se r = 9, entao: x = y = 10 .. absurdo, pois x >
y
se r = 7, entao: x = 9, 10 e y = 8, 9, 10 ....
pegando os menores valores, temos: t > x^2 + y^2 = 81 + 64 = 144 > 120..
absurdo!
logo: r = 1, 3, 5 .....
como y < x ... x <= 10... entao: y <
10
se z = 7, 8, 9, 10, entao: x^2 + y^2 + z^2 >
3z^2 > 3 * 7^2 = 147 ... logo t > 147, absurdo!
assim: z < 6
se x = 1, temos que y = 1, absurdo!
se x = 2, temos que y = 1, r = 1, z = 1,
absurdo!
se x = 3, temos que y = 2, r = 1, z = 1 ... mas x^2
= 9 != y^2 + z^2 + r^2 = 6, absurdo!
se x = 4, temos:
y = 3 .... 16 = 9 + z^2 + r^2
... z^2 + r^2 = 7 .... r e z podem ser 1 ou 2 ... impossivel.. logo,
absurdo!
y = 2 .... 16 = 4 + z^2 + r^2
... z^2 + r^2 = 12 .... r e z podem ser 1 ou 2 ... impossivel.. logo,
absurdo!
logo, x != 4
se x = 5, temos:
y = 4 .... 25 = 16 + z^2 + r^2
... z^2 + r^2 = 9 ... r e z podem ser 1, 2 ou 3 ... impossivel.. logo,
absurdo!
y = 3 .... 25 = 9 + z^2 + r^2
.... z^2 + r^2 = 16 ... r e z podem ser 1 ou 2 ... impossivel.. logo,
absurdo!
y = 2 .... 25 = 4 + z^2 + r^2
.... z^2 + r^2 = 21 ... r = z = 1 ... absurdo!
logo, x != 5
se x = 6, temos:
y = 5 ... 36 = 25 + z^2 + r^2
... z^2 + r^2 = 11 ... r e z podem ser 1, 2, 3, 4 ... impossivel.. logo,
absurdo!
y = 4 ... 36 = 16 + z^2 + r^2
... z^2 + r^2 = 20 ... r e z podem ser 1, 2, 3 ... impossivel.. logo,
absurdo!
y = 3 ... 36 = 9 + z^2 + r^2 ...
z^2 + r^2 = 27 ... r e z podem ser 1, 2 ... impossivel, logo,
absurdo!
y = 2 ... 36 = 4 + z^2 + r^2 ...
r^2 + z^2 = 32 ... r = z = 1... absurdo!
logo x != 6
se x = 10, temos:
t = x^2 + y^2 + z^2 < 120
.... y^2 + z^2 < 20 .... y^2 < 20 .... y < 5
100 = y^2 + z^2 +
r^2
se y = 4, o
maior valor de y^2 + z^2 + r^2 = 34, absurdo!
se y = 3, o
maior valor de y^2 + z^2 + r^2 = 14, absurdo!
se y = 2, y^2
+ z^2 + r^2 = 6, absurdo!
logo, x != 10
se x = 9, temos:
t = x^2 + y^2 + z^2 < 120 ...
y^2 + z^2 < 39 ... y^2 < 39 ... y < 7
81 = y^2 + z^2 +
r^2
se y = 6...
r^2 + z^2 = 45 ... se r = 1, z^2 = 44 ... se r = 3, z^2 = 36, mas t = 153 =
3 * 51 ... se r = 5, z^2 = 20, absurdo!
se y = 5...
r^2 + z^2 = 56 ... se r = 1, z^2 = 55 ... se r = 3, z^2 = 47 ... se r = 5, z^2 =
31, absurdo!
se y = 4...
r^2 + z^2 = 65 ... mas r^2 + z^2 <= 18 ... absurdo!
se y = 3...
r^2 + z^2 = 72 ... mas r^2 + z^2 <= 5 ... absurdo!
se y = 2...
r^2 + z^2 = 77 ... mas r = z = 1 ... absurdo!
logo, x != 9
se x = 8, temos:
t = x^2 + y^2 + z^2 < 120 ...
y^2 + z^2 < 56 ... y^2 < 56 ... y < 8
t = 2x^2 - r^2 = 2 * 64 - r^2 =
128 - r^2
se r = 3.. t
= 119 = 7 * 17, logo, r nao pode ser 3 neste caso.
64 = y^2 +
z^2 + r^2
se y = 7... r^2 + z^2 = 15 ... se r = 1, z^2 = 14 ... se r =
5, z^2 = -10 ... absurdo!
se y = 6... r^2 + z^2 = 28 ... se r = 1, z^2 = 27 .. se
r = 5, z^2 = 3 ... absurdo!
se y = 5... r^2 + z^2 = 39 ... se r = 1, z^2 = 38 ... se r =
5, z^2 = 14 .. absurdo!
se y = 4... r^2 + z^2 = 48... mas r^2 + z^2 < 18..
absurdo!
se y = 2... r^2 + z^2 = 62... mas r = z = 1 ...
absurdo!
logo, x != 8
assim.. x = 7... mas t = 2*x^2 - r^2 = 2 * 49
- r^2 = 98 - r^2
se r = 1, temos: t = 97
se r = 3, temos: t = 89
se r = 5, temos: t = 73
todos primos...
cheguei até aqui... tem que testar alguns casos pra
terminar..
resumo:
x = 7
1 < y < 7
0 < z < 6
r = 1, 3, 5
abracos,
Salhab
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