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Re: [obm-l] Primo e divisor
Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e
mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p
= -1 mod 3
Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5 =
30.
Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ):
"p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8"
Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8.
"Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4."
Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16.
Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere?
>From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
>Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300
>
>Oi,
>
>Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode
>ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois
>
>p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 e além
>disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são
>divisíveis por 4. Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como
>melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...
>
>Abraços,
>Nehab
>
>At 12:47 31/8/2006, you wrote:
>>Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal
>>formulada.
>>
>>Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a
>>resposta.
>>
>>Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra
>>qualquer p primo > 5 entao acho que a resposta e 10.
>>
>>p^4-1 = 0 mod 2
>>p^4-1 = 0 mod 5
>>ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale a^(p-1) =
>>1 mod p.
>>
>>Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas
>>certamente nao vai ser o maior divisor.
>>
>>
>>>From: its matematico <matematica.italo@yahoo.com.br>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
>>>Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 +0000 (GMT)
>>>
>>>Acho q tenho uma solução razoável:
>>>
>>> se p é primo e p>5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo
>>>p^4-1 é par
>>> e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2
>>>
>>> Alguma objeção à resposta???
>>>
>>> Espero ter contribuído...
>>> Até +,
>>> Ítalo
>>>
>>>João Luís Gomes Guimarães <joaoluisbh@uol.com.br> escreveu:
>>> Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro
>>>que
>>>divide p^4 - 1 é...... p^4 - 1 !!!!! e ninguém poderia colocar objeção,
>>>hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a
>>>solução
>>>procurada exclui o próprio p^4 - 1.
>>>
>>>Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e,
>>>se
>>>a encontrar, posto depois.
>>>
>>>Abraços,
>>>
>>>João Luís.
>>>
>>>
>>>----- Original Message -----
>>>From: "Ricardo Khawge"
>>>To:
>>>Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
>>>Subject: [obm-l] Primo e divisor
>>>
>>>
>>> > Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos
>>>fazer
>>> > um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não
>>>sei
>>> > se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando
>>>aqui
>>> > e agradecemos qualquer colaboração.
>>> >
>>> > "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior
>>>que
>>> > 5."
>>> >
>>> > Tchau
>>> >
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>>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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