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[obm-l] Polinômio nos inteiros



Olá, pessoal da lista.

Já pensei sobre este problema mas não tive uma boa idéia que me levasse à solução.

PROBLEMA 1. Seja f(x) um polinômio de grau n e coeficientes inteiros. Suponha que existe um inteiro m e um primo p de forma que p divide f(m), f(m+1), ..., f(m+n-1) e f(m+n). Prove que qualquer que seja x inteiro p divide p(x).

Um outro problema que o Gugu passou num curso de verão e que tenho curiosidade por saber como resolver é o seguinte.

PROBLEMA 2. Sejam p_1, p_2, ..., p_{k-1} e p_k primos distintos. Prove que as raízes quadradas destes primos formam um conjunto linearmente independente sobre o corpo dos racionais. De outra forma mais elementar: se a_1RAIZ(p_1) + ... + a_kRAIZ(p_k) = 0, onde cada a_i é racional, então a_i = 0 para todo i.

Divirtam-se!
Duda

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dudastabel@gmail.com
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