Re: [obm-l] Re: Convergência de Série

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudastabel@xxxxxxxxx>]

Olá!

Acho que dá para usar a desiguldade de Cauchy-Schwartz (não lembro a grafia):

( \sum_{n=1}^{k}{a_n/n} )^2 <= \sum_{n=1}^{k}{ a_n^2 } \sum_{n=1}^{k}{ 1/n^2 }

2006/6/28, Aline Oliveira < alineboliveira@gmail.com>:

Também não sei se tá certo... Mas... =/

Ratio Test (Apostol 1 pag 400): (a_n+1 / a_n) -> L qdo n-> infinito.
Se L < 1, a série converge.

Como Soma (n>=1) (a_n)^2 converge, limite de (a_n+1/a_n)^2 quando n
tende a infinito é menor que 1 -> (a_n+1/a_n) quando n tende a
infinito é menor que 1

Ratio Test no segundo somatório:

((a_n+1/n+1) / (a_n/n)) = (a_n+1/a_n) x (n/n+1) que é menor que 1,
logo a série converge.

Em 28/06/06, claudio.buffara< claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:
> Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon,
> juntamente com a minha solução errada.
> O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução
> correta.
>
> Seja (a_n) uma sequência de números reais.
> Prove que se SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n>=1) (a_n)/n também
> converge.
>
> Solução errada:
> Como SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n > n_0 então
> (a_n)^2 < 1/n, já que a série harmônica diverge.
> Logo, para n >= n_0, |a_n| <= 1/raiz(n) ==>
> a_n/n <= |a_n|/n <= 1/n^(3/2) ==>
> SOMA(n>=1) a_n/n converge, pela comparação com a série:
> SOMA(n>=1) 1/n^(3/2), que é convergente.
>
> []s,
> Claudio.
>
>


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Aline Oliveira

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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