[obm-l] Re: maior sigma álgebra

[<rlalonso@xxxxxxxxxx>]

>Bom dia

 Bom dia Arthur.
 Não posso resistir em dar meu "pitaco"  :)  
Sua dúvida é bastante específica.
 Eu acredito que iso é verdadeiro para 
conjuntos Boreleanos, isto é que 
 que M é sim a maior sigma álgebra, pois ela é definida
 para todo subconjunto próprio
ou não de X, inclusive o vazio 
(mas seria melhor repassar essa dúvida
para pessoas que estudam teoria de medida e/ou 
mecânica estatística). 

  
http://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory's_theorem_(measure_theory)
 
O teorema de Caratheodory é para phi-medidas (medidas exteriores)
 definidas nas partes de X. Veja a definição no link acima.

   Ele diz que se uma função phi satisfaz phi(A) = phi(A inter E) +
phi(A\E) então os conjuntos A que satisfazem essa propriedade formam
uma sigma-álgebra (se e somente se).
 Mais ainda, se restringirmos phi a esses conjuntos então phi
é uma medida completa.

   Como todo conjunto de Borel A é phi-mensurável (satisfaz  phi(A) = 
phi(A inter E) + Phi (A\E)) então isso seria verdadeiro para todos
os subconjutos de Boreleanos de A que também são boreleanos, daí vc forma
a sigma álgebra M_1 contido em M com eles.  Eu
   acredito que não existe outra sigma ágebra 
 N, composta por subconjuntos boreleanos de A, tal que M seja uma
subcolecao propria de N, já que se M engloba todos os subconjuntos
de A, então englobaria também todas as possíveis 
sigma-ágebras (porque todo subconjunto de qualquer conjunto de A seria 
phi mensurável e portanto poderíamos formar (por Caratheodory) uma
sigma-álgebra com esses subconjuntos).
 
   Finalizando... não sei se tudo isso que disse está certo (preciso
estudar
melhor o assunto) mas pelo menos tentei ajudar.

   Alguém aqui conhece alguma lista de discussão de Mecânica Estatística?
 Estuda o assunto? Andei acessando o orkut em busca de pessoas com quem
colaborar, mas qualquer ajuda de qualquer pessoa é MUITO, repito MUITO
bem vinda.

    Preciso muito de gente para me ajudar ...  
Obrigado à todos !!! (que realmente considero amigos).
[]s



>Eu tenho uma duvida, talvez alguem possa esclarecer. Suponhamos que X seja
>um dado conjunto e  que C seja uma colecao de subconjuntos de X que inclua o
>vazio e o proprio X. Seja u uma funcao de conjunto definida em C e com
>valores em [0, oo]. A partir daih, podemos definir uma medida exterior no
>conjunto P(X), das partes de X, dada, para cada A de P(X), pela formula
>classica m*(A) = infimo {Soma(n=1, oo) u(E_n) | {E_n} eh uma cobertura
>enumeravel de A composta por conjuntos de C}.  Pela definicao de
>Caratheodory, um conjunto A de P(X) eh dito mensuravel se, para todo K de
>P(X), tivermos que u*(K) = u*(K inter A) + u*(K inter A'), onde A' eh o
>complementar de A com relacao a X. Pelo teorema de Caratheodory, a colecao M
>dos conjuntos mensuraveis de P(X) eh uma sigma-algebra e a restricao m de m*
>a M eh uma medida em M (eh sigma-aditiva) A minha duvida eh se M eh a maior
>sigma-algebra que podemos formar com subconjuntos de X tal que a retricao de
>u* a esta sigma-algebra seja uma medida. Isto eh, eh posivel existir uma
>sigma-algebra N, composta por subconjuntos de X, tal que M seja uma
>subcolecao propria de N e a restricao de m* a N seja uma medida em N?
>Obrigado
>Artur
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================