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Olá,
1) Seja f(x) = x - ln(x)..
f'(x) = 1 - 1/x...
se x > 1, f'(x) > 0
se x = 1, f'(x) = 0
se x < 1, f'(x) < 0
f(1) = 1 - ln1 = 1
assim, f(x) > 1 > 0, para todo x > 1...
logo: x > lnx, para x > 1
tb temos, f(1) = 1 > 0, logo, podemos extender x
> lnx, para x >= 1
para x < 1, f'(x) < 0, logo, é estritamente
decrescente..
f(x) -> +inf, qdo x->0, e f(1) = 1 .. logo, a
função é decrescente de +inf para 1... sempre maior que 0.
assim:
x > lnx, para x > 0.
um outro modo, talvez mais simples, seria derivar
novamente e concluir que f(1) é ponto de mínimo para x>0, e é maior que 0..
logo f(x) > 0 para x>0.
2) Seja f(x) = senx - 2x/pi
f'(x) = cos(x) - 2/pi
para x E (0, pi/2), 0 < cosx < 1 .. como 2/pi
< 1, entao, existe um a, tal que cos(a) = 2/pi
vamos dividir em 3 casos:
a < x < pi/2 ... entao: cos(x) <
cos(a) ... f'(x) < 0... entao f(x) é estritamente decrescente...
mas f(a) = 2/pi > 0 ... e f(pi/2) = 0 ... assim,
f(x) > 0 ... e senx > 2x/pi, para a < x < pi/2
0 < x < a ... entao: cos(x) > cos(a) ...
f'(x) > 0... entao f(x) é estritamente crescente...
mas f(0) = 0 ... logo: f(x) > 0, para 0 < x
< a...
x = a .. f'(a) = 0... f''(a) = -sen(a) < 0..
assim, a é ponto de máximo em (0, pi/2), logo f(a) > 0.
deste modo, esta provado que f(x) > 0 para x E
(0, pi/2).. logo: senx > 2x/pi
abraços,
Salhab
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