Re: [obm-l] 4 esferas e um tetraedro

[Eduardo Wilner <eduardowilner@xxxxxxxxxxxx>]

   Viva Claudio

   Não entendí o "menor", mas ahi vai.

    Seja a=2R a aresta do tetraedro dado e b=? a aresta pedida (do tetraerdro circunscrito ahs esferas, portanto de faces tangentes as mesmas).

    Considere uma face lateral do original, com vertice V do triangulo na extremidade (superior) da altura do tetraedro, h=a.sqrt(2/3), e M ponto medio da aresta da base que denominaremos AB, sendo O centro da base (a outra extremidade de h). 
   
    A linha de maior declive daquela face, (BAV),  MV mede d=a.sqrt(3)/2, (altura do triangulo equilatero).

    As faces do circunscrito são paralelas ahs do original. 
   
   Consideremos V' como vertice deste, no prolongamento da altura do primeiro, M' o ponto médio da aresta de sua base e 
d'= d+w+z+z´=|M'V'|,  sendo w o excesso de d`, desde o ponto T de tangencia ah
 esfera centrada em V ateh V', z o excesso do lado de "baixo", desde S, intersecção de V'M' com a reta A' B' que une os pontos de tangencia ahs esfereas centradas em  A e B, ateh U,  sua intersecção com o plano que contem a base do tetraedro interno e, finalmente, z' "super" prolongamento desde U ateh M',  na base do tetraedro circunscrito, R "abaixo" da base do interno.

   Por semelhança dos triangulos O V M, V V' T , M T' S e PSM' (P peh da perpendicular de S ah base do circunscrito), e lembrando que |OM| = r =a/(2sqtr3), inraio da base, temos
   
   w = R.h/r = 2R.sqrt2, z = Rr/h = R/(2sqrt2), z' = r.d/h =  3R/(2sqrt2) e observando  que  |SU| = d = R.sqrt(3) ,   somamos

   d' = R ( sqrt3 +3sqrt2),      e como a nova aresta b = 2.d'/sqrt3, teremos

                          b =
 2(1+sqrt6)R
      
[]s

Wilner

"claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:
>  
> O conjunto A consiste de 4 esferas de raio R cujos centros coincidem com os vertices de um tetraedro regular de aresta 2R.
> Qual a aresta do menor tetraedro regular que pode ser circunscrito a A?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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