Re:[obm-l] N. binomial

Seja x_n = (2+raiz(3))^n + (2-raiz(3))^n.

x_n obedece a uma relacao de recorrencia linear de 2a. ordem, cujo polinomio caracteristico eh x^2 - 4x + 1.

Logo, x_n = 4*x_(n-1) - x_(n-2) com x_0 = 2 e x_1 = 4.

Isso quer dizer que x_n eh sempre par.

Mas 0 < 2-raiz(3) < 1 ==> 0 < (2-raiz(3))^n < 1, para n >= 1.

Logo, (2+raiz(3))^n < x_n < (2+raiz(3))^n + 1.

Como x_n eh inteiro, soh pode ser x_n = [(2+raiz(3))^n] + 1 ==>

[(2+raiz(3))^n] = x_n - 1 eh sempre impar.

[]s,

Claudio.

De:

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Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Sat, 27 May 2006 03:23:07 +0000 (GMT)

Assunto:

[obm-l] N. binomial

Prove que [(2+sqrt(3))^n] é impar para todo n natural. [] detona a parte inteira.