[obm-l] 3 problemas antigos

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Há algum tempo estes problemas foram enviados para
a lista (não me lembro o remetente original nem o
assunto da mensagem).

Acabo de receber o email abaixo do prof. Rousseau.
Gerei o .pdf do .tex mas não posso mandá-lo para a
lista por ser maior do que o limite permitido e não
ser boa prática.

Posso mandá-lo diretamente para os interessados mas
se houver mais de três interessados vou pedir para
colocá-lo em alguma página de algum de vocês.

Aguardo também comentários/correções para os
problemas 1 e 2.

[]'s
Luís


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Dear Luis

   It was not until yesterday that I had a good
chance to sit down and take a look at the problems
that you sent on April 18.  I solved the third one
right away but got stuck on the first two.  In the
second one, some additional condition must be added;
otherwise x = y  = k, for k = 1,2,3,… is an infinite set
of solutions. I would guess that k=3 and 7 are the only
solutions of the first one, but right now I can’t think of
a proof.   For whatever it might be worth, I have attached
a solution of the third one,

Alll the best,

Cecil
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>From: Luís Lopes <qed_texte@hotmail.com>
>To: Cecil Rousseau
>CC: qed_texte@hotmail.com
>Subject: Three Problems
>Date: Tue, 18 Apr 2006 21:39:01 +0000


1) Ache todos os números k naturais tal que
( 2^{k-1} - 1 )/ k é um quadrado perfeito.


2) Prove que existem finitas soluções inteiras para

x^2 - xy + y^2 = k^2  .


3) Sendo a_n uma sequência de números positivos , tais que

a_n <= a_{2n} + a_{2n+1}  ,

prove que

lim_{n - > +infinito}   a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n

diverge.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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