[obm-l] Re:[obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Estou enviando aqui uma prova para a diferenciabilidade de f: D->R   em um ponto interior c de seu dominio D contido em R^n. 

 

Hipoteses que garaentem a diferenciabilidade de f em c: Uma das derivadas parciais de f existe em c e as demais existem e sao continuas em uma bola aberta (ou em uma vizinhanca qualquer) centrada em c.

Observe que, com relacao a uma das derivadas, tudo o que se admite eh a sua existencia em c. Nao eh preciso assumir que a mesma exista em uma vizinhanca de c. Jah para as demais, admite-se nao apenas a existencia, mas tambem a continuidade, em uma bola aberta de centro em c.

 

 

Basta considerar o caso de R^2, pois a extensão para R^n eh imediata. Basta "ziguezaguear" um pouco mais na bola aberta de centro em c

Para simplificar, podemos, sem perda de generalidade, supor que c = (0,0) (basta transladar para a origem o ponto em questão. Isto, na realidade,  soh simplifica a notacao, porque o esforco cerebral eh exatamente o mesmo) . Suponhamos que f_1 exista em  (0,0) e que f_2 seja continua em (0,0) e exista numa bola aberta B centrada na origem. 
Se h1<>0 e h_2<>0 tem valor absoluto suficientemente pequeno para que (h1,h2) esteja em B, entao f(h1,h2) - f(0,0) = f(h1,h2) - f(h1,0) + f(h1,0) - f(0,0) (Eq. 1).
Como f_2 existe em B, podemos aplicar o Teorema do Valor Medio (caso unidimensional) para obter um ponto p no segmento de reta unindo (h1,0) e (h1, h2) que satisfaca a f(h1,h2) - f(h1,0) = f_2(p)*h2. Assim, podemos escrever f(h1,h2) - f(h1,0) = f_2(0,0)*h2 + [f_2(p) - f_2(0,0)]*h2 .
Como f_1 existe em (0,0), temos que f(h1,0) - f(0,0) = f_1(0,0)*h1 + o(h1), sendo que o(h1)/h1 tende a zero quando h1 vai para zero.
Considerando agora a continuidade de f_2 em (0,0), notamos que, se (h1,h2) -> (0,0), entao g(h1,h2) =[f_2(p) - f_2(0,0)] -> 0 (considerando que p depende de h1 e de h2). Substituindo-se na Eq.1 e rearranjando-se as parcelas, chegamos a que que f(h1,h2) - f(0,0) =
f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + o(h1) + g(h1,h2)*h2 = f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + |(h1,h2)|* v(h1,h2), sendo v(h1,h2) = [o(h1) + g(h1,h2)*h2]/|(h1,h2)| = o(h1)/|(h1,h2)| + g(h1,h2)*[{h2/|(h1,h2)| = (o(h1)/h1)*(h1/|(h1,h2)| + g(h1,h2)*[{h2/|(h1,h2)|  .
Mas como|h1|/|(h1,h2| e  |h2|/|(h1,h2)| permanecem limitadas quando  (h1, h2) -> (0,0), inferimos que v(h1,h2) ->0. Usando a notacao o, isto significa que f(h1,h2) - f(0,0) = f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + |(h1,h2)|* o(|(h1,h2)|) = f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + |h| * o(|h| ., Concluimos, assim, que f eh diferenciavel em (0,0),  and sua derivada eh a funcao linear que leva (h1, h2) ao real f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2.

 

A condicao citada eh suficiente, mas nao necessaria, para garantir a diferenciabilidade.

 

Artur