[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?RE=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Provar=3A=20Conjunto=20fechado=2C=20limitado=20e=20N=C3O=20compacto?=

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Vou chamar de V esse espa�o, e assumir que essas sequ�ncias s�o de n�meros
reais.

A � limitado pela sua pr�pria defini��o, e � fechado pela continuidade da
norma em (V, ||.||): se X_n � uma sequ�ncia em A convergindo para X, ent�o
||X|| = ||lim X_n|| = lim ||X_n|| <= 1 pois ||X_n|| <=1 para todo n.

Se a_1, ..., a_k s�o elementos de V, seja S(a_1, ..., a_k) o subespa�o gerado
por eles. Assim, todo elemento desse subespa�o tem todas as coordenadas
n�o nulas exceto possivelmente as coordenadas n�o nulas dos a_j, que s�o
em n�mero finito. A partir disso, � f�cil ver que S(a_1, ..., a_k) � fechado.

Considere a cobertura C de A formada pelas bolas abertas de raio 1/2 centradas
nos elementos de A ({Y em V tal que ||Y - A|| < 1/2}). Seja {a_1, ..., a_k}
contido em A e considere S = S(a_1, ..., a_k).

Seja x_1 elemento de V\S qualquer (como a dimens�o de V � infinita e a de
S, finita, tal x_1 existe). Seja d = inf||x - x_1||, com x em S. Como S
� fechado, temos d > 0. Seja 0 < q < 1. Ent�o existe x_0 em S tal que ||x_0
- x_1|| <= d/q. Defina x_q = h*(x_0 - x_1), com h = 1/(||x_0 - x_1||). Segue
que ||x_q|| = 1 e x_q est� em V\S (pois se x_q estiver em S, ent�o x_1 =
-(1/h)*x_q + x_0 estaria em S, absurdo).

Observe que se x est� em S, ent�o (1/h)*x - x_0 est� em S. Seja x em S.
Vale ||x - x_q|| = ||x - h*(xo - x_1)|| = h*||((1/h)*x - x_0) + x_1|| >=
h*d >= (q/d)*d = q. Assim, todo mundo em S est� a uma dist�ncia de pelo
menos q > 0 de x_q, e ||x_q|| = 1.

Voltando � cobertura C e usando o resultado acima, existe b em V\S com ||b||
= 1 (e ent�o b est� em A) tal que ||b - x|| >= 1/2 para todo x em S, e em
particular para todos os a_i, 1 <= i <= k. Logo, b n�o est� em B(a_1)U...UB(a_k),
onde B(a_i) � a bola de centro a_i e raio 1/2. Assim, A n�o est� contido
nessa uni�o finita.

Assim, nenhuma subcobertura finita de C pode cobrir A, e ent�o A n�o � compacto.
Com pequenas altera��es, esse resultado vale para todo espa�o real de dimens�o
infinita: a bola unit�ria nunca � compacta.

[]s,
Daniel



 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Wed, 26 Apr 2006 10:46:27 -0300
 '>'Subject: [obm-l] Provar: Conjunto fechado, limitado e N
 '>'	�O compacto
 '>'From: "alencar1980" <alencar1980@bol.com.br>
 '>'To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Pessoal,
 '>'
 '>'Ser� que algu�m poderia me ajudar a provar que o conjunto "A" abaixo
� fechado,
 '>'limitado e n�o-compacto.
 '>'
 '>'Considere o conjunto
 '>'
 '>'{ (x_{n}) : apenas um n�mero finito de x_{n}  � n�o-nulo}
 '>'
 '>'com a norma ||x||:=max_{n nos naturais} {|x_{n}|}.
 '>'
 '>'Obs.: Na defini��o acima n pertence aos naturais. Por exemplo, (1,2,3,4,5,...,N,0,0,\...)
 '>'pertence ao conjunto acima.
 '>'
 '>'Mostre que
 '>'
 '>'A = {x : ||x||<=1} � fechado e limitado mas n�o-compacto.
 '>'
 '>'Obrigado por qualquer ajuda.
 '>'
 '>'[]'s




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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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