[obm-l] Desigualdade com substituição trigonométrica

[Dymitri Cardoso Leão <dymitri_leao@xxxxxxxxxxx>]

Inegavelmente, as substituição trigonométricas em certos casos são 
ferramentas poderosíssimas.
Mas gostaria de saber até que ponto só há solução utilizando as mesmas. 
Vejam o exemplo abaixo, que gerou minha dúvida:

* Mostre que, dentre quaisquer quatro reais distintos X1,X2,X3,X4 no 
intervalo (0,1], existem pelo menos dois Xi,Xj que satisfazem a desigualdade 
a seguir:

0 < Xi.sqrt(1-Xj²) - Xj.sqrt(1-Xi²) < 1/2.

obs: Notações- sqrt(x) -> Raíz quadrada de x; >= -> maior que ou igual a, 
etc...

A seguir, vou mostrar uma solução com substituição trigonométrica:

Solução 1:    0 < X1,X2,X3,X4 <= 1
              0º < a1,a2,a3,a4 <= 90º  (os "ai" são todos distintos também)

X1 = sen(a1)
X2 = sen(a2)
X3 = sen(a3)
X4 = sen(a4)

Vamos dividir o intervalo (0º, 90º] em três sub-intervalos, que são (0,30º], 
(30º,60º], (60º, 90º]. Pelo princípio da casa dos pombos, há dois números 
dentro de um mesmo sub-intervalo, ou seja,

   0º < ai - aj < 30º , mas xi sen ai -> sqrt(1-xi²) = cos(ai); xj = senj -> 
sqrt(1-xj²) = cosj.

Aplicado a função seno na desigualdade acima, 0 < sen(ai).cos(aj) - 
sen(aj).cos(ai) < 1/2 ->

0 < Xi.sqrt(1-Xj²) - Xj.sqrt(1-Xi²) < 1/2 (c.q.d)


Solução 2: Na verdade, esta foi a primeira solução que tentei. Não usei 
trigonometria, e fui construindo a desigualdade passo a passo no braço (pra 
que isso? hehehe). Analogamente, dividi em 3 sub-intervalos, mas não 
consegui provar no 3º. A solução ficou um pouco grande pra digitar, mas
eu publiquei na internet: 
http://dymitri.leao.vila.bol.com.br/desigualdade.htm    .
Obs: Lá na solução do site, eu botei o intervalo [0,1], mas é mesmo (0,1]!

Gostaria de saber se tem como resolver sem trigonometria, mais ou menos da 
forma como eu publiquei no site acima, ou se a substituição era realmente a 
chave da questão.


Atenciosamente, Dymitri Cardoso Leão.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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