[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re: [obm-l] Determinar imagem



Olá Miguel e pessoal da lista!!!

A imagem de uma função são todos os valores que ela pode assumir a
partir de todos possíveis valores do domínio.

(1) Como existe uma raiz quadrada, e acredito que o domínio pertence
aos números reais, o que está dentro da raiz (radicando) precisa ser
maior ou igual a zero. Portanto:
x*(x-2) >= 0

Para que a multiplicação acima seja maior ou igual a zero, temos que
verificar para quais valores de x isso é verdadeiro (ambos os termos
-- x e x-2 -- positivos ou ambos negativos). Separando os dois termos
sendo multiplicados, x >= 0 e x-2 >= 0.

Se colocarmos em uma linha reta que representa os valores reais:

x >= 0 -->                  
........-.........0........+........2............+.........
x-2  >= 0 --> x >= 2 ->
........-.........0........-.........2...........+.........
x*(x-2) -->                  
........+........0........-.........2...........+.........

Os sinais na última linha são encontrados utilizando as regras de
multiplicação (sinais iguais dá +, diferentes dá - ).

Dessa forma, quando calculamos f(2+) obtemos 0+ e f(0-) obtemos 0+, ou seja,
Imagem = [0, inf).

Os sinais de + e de - que coloquei ao lado dos números significa que
continua à direita ou esquerda, aumentando os valores ou diminuindo.

O gráfico seriam duas meia-parábolas (só os valores de y positivos)
com eixo de simetria no eixo y e simétricas entre si pela reta x = 1;

(2) Como a função possui denominador e este não pode assumir o valor
0, temos que x^2+x-12 <> 0 e x+3 <> 0, o que nos dá x <> -4, x<> 3
(raízes da primeira equação) e x <> -3 (raíz da segunda equação).
Esses são pontos de descontinuidade, não existe um valor definido para
g(x) nestes pontos.

Podemos tentar simplificar a função e facilitar a visualização de sua
imagem. Para simplificar distribui-se os termos de ambos numerador e
denominador, sendo que depois efetua-se uma divisão dos dois
polinômios encontrados:

(x^2+3x-4)*(x^2-9) = x^4-9x^2+3x^3-27x-4x^2+36 = x^4+3x^3-13x^2-27x+36
(x^2+x-12)*(x+3) = x^3+3x^2+x^2+3x-12x-36 = x^3+4x^2-9x-36

Assim, a função pode ser reescrita: (x^4+3x^3-13x^2-27x+36)/(x^3+4x^2-9x-36)

Após efetuar a divisão dos polinômios, chega-se ao quociente x-1 e ao
resto 0 (o polinômio do numerador é divisível pelo do denominador), o
que mostra que a função é uma reta.

Para efetuar a divisão, coloque o polinômio do numerador na esquerda e
o do denominador na direita do "L" da divisão (não lembro o nome deste
símbolo) assim como para a divisão de dois números. A divisão é
realizada pegando-se o primeiro termo do polinômio do numerador e
divindo-se pelo primeiro termo do polinômio do denominador, ou seja,
x^4 / x^3 = x que nos dá o primeiro termo no quociente. Multiplica-se
este termo x por todos os termos do polinômio do denominador e
subtrai-se do polinômio do lado esquerdo do "L", nos dando um resto
igual a -x^3-4x^2+9x+36. Depois pega-se o primeiro termo no resto,
-x^3, e divide-se pelo primeiro termo do divisor (polinômio do
denominador), o que nos dá -1. Novamente, multiplica-se -1 por todos
os termos do divisor e subtrai-se do polinômio que é o resto da
divisão anterior, o que dará 0 como resto e x-1 como quociente.

Portanto, a imagem da função g(x) são todos os números reais (uma
função do 1º grau como x-1 pode assumir quaisquer valores) exceto nos
pontos -4, -3 e 3 em que a função não é definida quando colocada na
forma de divisão anterior.

Qualquer dúvida ou alguma coisa que escrevi errado me avisem,

Abraços!!!

On 4/7/06, Miguel <m_mossoro@yahoo.com.br> wrote:
>
> Olá a todos.
> Qual o procedimento para determinar imagens de funções numéricas? tipo:
> (1) f(x) = raiz(x(x - 2))
> (2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3)
> Desde já, agradeço.
>
>
>
>  ________________________________
>  Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular
> e anti-spam realmente eficaz.
>
>


--
Henrique
"Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar."
"There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach."
"O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais." - Piaget
"The confident individual try more, err more, learn more." - Piaget

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================