[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?RE=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Subgrupo=20aditivo=20inteiro=20=2D=20Verifica=E7=E3o=20de=20validade=20de=20prova?=

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Olá,
Bem, achei meio enrolado o que vc falou depois de (i) em diante... A questão
é mostrar que todo subgrupo de Z é do tipo H = {km | k está em Z}, e tb que
todo H desse tipo é subgrupo. Esta última afirmação vc mostrou em (i).

Para provar que todo subgrupo H consiste em múltiplos de um certo m, existem
2 casos: primeiro quando H = {0}, que é trivial pondo m = 0. O segundo é
quando H não consiste apenas no 0; daí segue que H' = {x em H tal que x >
0 } é um subconjunto não vazio de números naturais, e pela boa ordenação
de N, temos que H' tem um menor elemento. Seja m esse elemento. Sabemos então
que J = {k*m ; k em ^Z} está contido em H. Basta mostrar agora que todo mundo
em H é do tipo k*m, donde H está contido em J e então H = J.

Para mostrar isso, é só usar o algoritmo da divisão: se algum x em H não
é múltiplo de m, então x = k*m + r, com 0 < r < m. Mas aí r = x - k*m é elemento
de H, e tb de H'. Isso não pode pois r < m e m é o menor elemento de H',
assim, tal x não existe.

[]s,
Daniel

 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Wed, 5 Apr 2006 14:14:45 -0300
 '>'From: "Daniel S. Braz" <dsbraz@gmail.com>
 '>'To: OBM-L <obm-l@mat.puc-rio.br>
 '>'Subject: [obm-l] Subgrupo aditivo inteiro - Verificação de validade de
prova
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Senhores,
 '>'
 '>'Estou precisando de ajuda para provar o seguinte fato:
 '>'
 '>'Um subconjunto H contido em Z (Inteiros) é um subgrupo do grupo aditivo
Z
 '>'se, e só se, existe m pertence H,
 '>'tal que H = {km|k pertence Z}
 '>'
 '>'Em pensei em algo desse tipo:
 '>'
 '>'Sejam am, bm elementos de H. Seja -bm o simétrico de bm
 '>'am - bm = m(a-b) -> H é um subgrupo do grupo aditivo Z (i)
 '>'
 '>'Seja m um elemento de H, seja a um elemento de Z
 '>'am = m+m+...+m (a vezes) -> am é um elemento de H (ii)
 '>'
 '>'Se existe m em H tal que H = {km|k pertence Z}, então m é o menor inteiro
 '>'possitivo de H.
 '>'Digamos que exista um inteiro possitivo em H menor do que m tal que tal
que
 '>'H = {km|k pertence Z}.
 '>'Chamemos este inteiro de n. Dai vem n = mx (x inteiro possitivo), já
que
 '>'n
 '>'está em H, então mx < m
 '>'o que é ímpossivel. (iii)
 '>'Digamos que não exista m de H tal que H = {km|k pertence Z}, então deve
 '>'existir pelo menos um elemento
 '>'de H que não é da forma km, chamemos esse elemento de b. De (ii) sabemos
 '>'que
 '>'bm está em H. Logo
 '>'bm-b = b(m-1) deve estar em H. Mas de (iii) sabemos que isto é impossível
 '>'já
 '>'que m-1 é menor do que m.
 '>'
 '>'Não tenho certeza se está tudo certo. Além disso me pareceu complicado
 '>'demais. Alguém poderia, por favor
 '>'conferir se está certo? Se alguém conhecer/souber uma prova mais simples
 '>'eu
 '>'gostaria de ver.
 '>'
 '>'obrigado.
 '>'
 '>'Daniel.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================