Re:[obm-l] ex. simples

[Eduardo Wilner <eduardowilner@xxxxxxxxxxxx>]

    Já que sua aula está muito demorada aí vai.

    Não está no enunciado, mas vamos subentender, como já foi feito anteriormente, a inteiro ( não nulo?).    Assim,

    a^2 - 24a = b^2 onde b é racional (ou, pelo  TRR , real).

    Logo, (a+b)(a-b) = 24a, e podemos fazer  a + b = r.a     e  a - b = 24/r,
 o que nos fornece  
                    
                  a = 24/{r(2-r)]  (*)     e    b = a(r-1)  => r  racional (inteiro).

    Seja q = r(2-r) (**) , racional, que escrevemos como (***) q = d/n^2 , onde d  é módulo dos divisores de 24 ( em número de 8).  

    Assim, a equação (**)
 resulta do segundo grau em q, com d/n^2 como parâmetro, com discriminante  4(n^2 -  d)/n^2  => n^2 - d = m^2 , m inteiro.

    Para a > 0, 

     (n + m)(n - m) = d  , ou  d_1.d_2 = d , (d_1 e d_2, divisores de d) onde d n+m = d_1 e n-m = d_2 
     
    2n = d_1+ d_2  =>  a = 24n^2 / d   de (*),(**) e (***) =>  a = 6(d_1+d_2)^2/d

   Considerando os divisores de 24 , d, da fatoração 24 = 3*2^3, temos um valor para cada d de (1; 2 ; 3) só pode haver um (d_1 +d_2)^2; para d = 4 (d_1+d_2) tem que ser par, e só haveria uma possibilidade que é repetição de anterior (d=1) ; para d = 6 temos duas possibilidades e para d>=8 os resultados se repetem.  Assim temos 5 valores para a>0.      
  
   Para a < 0, teremos  -a = 6(d_1 - d_2)^2/d , para os mesmos valores de d.
Aquí é
 fácil verificar que d_1 -  d_2, portanto a , é nulo para d = (1 ; 4), obtendo-se  um valor para cada d em (2 ; 3) e dois para d = 6 ( nos de maix ocorre repetição), perfazendo 4 valores de a<0
 
  Portanto, excluindo-se o 0 teremos 9 valores.

  Obs. Aquí, praticamente calculamos os valores de a, e o problema pede sómente o número  deles!? Deve haver uma solução mais "elegante" para isso, e seria interesante conhecê-la.

    Abraços 

     Wilner


     "Salhab [ k4ss ]" <k4ss@uol.com.br> escreveu:
>  olá,
>
> primeiramente temos que ter raizes reais, entao:
>
> a^2 - 24a >= 0
> a(a - 24) >= 0
>
> Logo, a <= 0 ou a >= 24
>
> x = (-a +- sqrt(a(a-24))) / 2
>
> temos que, para x ser racional, a tem que ser racional e
>  sqrt(a(a-24)) tbem tem q ser racional
>
> basta determinarmos para quais valores de a temos sqrt(a(a-24)) racional.
>
> sqrt(a(a-24)) = p/q
>
> entao: a(a-24) = (p/q)^2
>
> p^2 = q^2 * a(a-24)
>
> p é inteiro, logo p^2 tbem é.. q^2 tbem é.. entao a(a-24) tem que ser inteiro!
>
> bom, depois eu tento terminar.. vou pra aula agora.. rs
>
> pode tentar usar aquele teorema de que se os coeficientes sao reais, as unicas raizes racionais é do tipo p/q onde p sao os divisores do termo indepentende e q os divisores do coeficiente do termo dominante.
>
> abraços
> Salhab
>
>
> > As representações decimais dos números 2^1999 e 5^1999 são escritas lado a lado.o nº total de algarismos escrito é?
> > 
> > para quantos valores de a a equação: x^2+ax+6a=0 possui raízes racionais?
> > 
> >   
> > abraços
> > Vinícius Meireles Aleixo 
> > 
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