[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?RE=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20=C1lgebra=20Opera=E7=F5es=20Grupos?=

[kleinad2@xxxxxxxxx]

 '>'Seja G um conjunto finito e munido de uma operação * que é associativa.
 '>'Mostre que, se a operação * satisfaz a lei do cancelamento, então (G,*)
é
 '>'um
 '>'grupo.

Tome um x qualquer em G. Como * obedece a lei do cancelamento, se x*w =
x*z, temos que w = z, e então a função f_x: G --> G que leva y em x*y é
injetiva, e como G é finito, ela é bijetiva. Então existe um e em G tal
que f_x(e) = x*e = x. Daí sai que (x*e)*e = x*e ==> x*(e*e) = x*e ==> e*e
= e. E então e*x = (e*e)*x = e*(e*x) ==> e*x = x*e = x.

Para um y qualquer em G, temos y*e = y*(e*e) = (y*e)*e ==> y = y*e. E finalmente,
e*y = (e*e)*y = e*(e*y) ==> y = e*y. Ainda, como f_y(h) = y*h é uma bijeção,
para todo y em G existe y^(-1) tal que y*y^(-1) = e. Temos também e*(y^(-1)*y)
= y^(-1)*y = y^(-1)*e*y = y^(-1)*(y*y^(-1))*y = (y^(-1)*y)*(y^(-1)*y) ==>
y^(-1)*y = e.

Assim, (G,*) é grupo com elemento neutro e. Repare que é fundamental que
G seja finito (ou que aquela função f seja bijetora para todo x em G): os
inteiros positivos com o produto usual satisfazem a associatividade e a
lei do cancelamento mas não formam um grupo.

[]s,
Daniel


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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