A lém do método geométrico que o Bruno citou ,há também
uma outra forma de chegar a uma fórmula fechada para sequencia
de Fibonacci.
F(n) = F(n-1) + F(n-2).
Podemos considerá-la como uma equação de diferenças de segunda ordem com
coeficientes constantes.
Geralmente as soluções deste tipo de equação são da forma a^n (assim como
soluções de equações diferenciais com coeficentes constantes
são do tipo e^{\lambda*x}).
Para simplificar vamos colocar.
F(n+2) = F(n+1) + F(n)
F(n) = a^n ==> F(n+2) = a^{n+2} = a^n * a^2. (*)
Fazendo isso com os outros termos, isolando o a^n chegamos a uma
equação do segundo grau em a.
Resolvendo temos dois valores de a. Daí basta substituir em (*) e voilá!
Tá pronto.
[]s Ronaldo L. Alonso