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[obm-l] soma de cubos



Queremos a soma S(k=1, n) k^3 ( soma de k=1 ate n de k^3)
 
Fatos que ajudam:
 
Teorema das colunas do triangulo de Pascal:
notacao: C(n,p)=n classe p, ou combinacao de n p a p.
 C(p,p)+C(p+1,p)+...+C(p+n,p)=C(p+n+1,p+1)
 
Entao, para utilizar o teorema acima, fazemos:
 
x^3=A(x)(x+1)(x+2) + B(x)(x+1) + Cx + D =>A=1, B= -3, C=1, D=0
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S(k=1,n) k^3  =  S(k=1, n) k(k+1)(k+2)   +   S(k=1,n) -3(k)(k+1)    +   S(k=1,n) k
=S(k=1,n) 3!*C(k+2,3)  +   S(k=1,n) -3*2!*C(k+1,2)   +  S(k=1,n) k
=(teorema das colunas) = 3!*C(n+3,4)  -3*2!*C(n+2,3) + (1+n)n/2
=(n+3)(n+2)(n+1)(n)/4 -(n+2)(n+1)(n) + n(n+1)/2
=n(n+1)(1/2-n-2+1/4*(n^2+5n+6))=n(n+1)(n^2+n)/4=(n(n+1)/2)^2 .
 
espero ter ajudado
Ricardo
 
 
 
 
 
 
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, February 22, 2006 10:03 PM
Subject: [obm-l] OBM

(OBM)Dizemos que um quadrado está contido em um cubo quando todos os seus pontos estão nas
faces ou no interior do cubo. Determine o maior l>0 tal que existe um quadrado de lado l contido num cubo de aresta 1.
 
Alguém sabe um modo que não seja por indução para provar que a soma de cubos é (n(n+1)/2)^2
 
abraços
 
Vinícius Meireles Aleixo


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