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Olá,
a_(i+1) - 2a_i + a_(i-1) = k , i >=
1
a_(i+1) = k + 2a_i - a_(i-1)
a_(i+1) - ra_i = k + 2a_i -
(1+r)a_(i-1)
fazendo com que:
1/2 = r/(1+r)
1+r = 2r
r = 1
ok! voltando..
a_(i+1) - a_i = k + 2(a_i - a_(i-1))
Chamando b_i = a_i - a_(i-1), temos:
b_(i+1) = k + 2b_i
2b_i = b_(i+1) - k
agora fica mais facil de resolver:
2b_1 = b_2 - k
2b_2 = b_3 - k [x1/2]
2b_3 = b_4 - k [x1/4]
:
:
2b_(n-1) = b_n - k
[x(1/2)^(n-2)]
multiplicando cada linha pelo numero entre chaves e
somando, temos:
2b_1 = (1/2)^(n-2) * b_n - (1 + 1/2 + 1/4 + ... +
(1/2)^(n-2)) * k
1 + 1/2 + 1/4 + ... + (1/2)^(n-2) = 1 * (1 -
(1/2)^(n-1)) / (1 - 1/2) = 2 * (1 - (1/2)^(n-1))
assim:
2b_1 = (1/2)^(n-2) * b_n - 2 * (1 - (1/2)^(n-1)) *
k
b_n = 2 [b_1 + (1 - (1/2)^(n-1)) * k] /
[(1/2)^(n-2)]
b_n = 2^(n-1) * [b_1 + (1 - (1/2)^(n-1)) *
k]
b_n = 2^(n-1) * b_1 + (2^(n-1) - 1) *
k b_n = 2^(n-1) * b_1 + 2^(n-1) * k - k
b_n = 2^(n-1) * (b_1 + k) - k
agora,
b_n = a_n - a_(n-1)
a_1 - a_0 = b_1
a_2 - a_1 = b_2
:
:
a_n - a_(n-1) = b_n
somando, temos:
a_n - a_0 = b_1 + b_2 + ... + b_n
a_n = a_0 + b_1 + b_2 + ... + b_n
basta determinarmos Sum(b_i), i=1 ...
n
ok.. vms la:
b_n = 2^(n-1) * (b_1 + k) - k
Sum(b_i) = Sum[ 2^(n-1) * (b_1 + k) ] -
Sum(k)
Sum(k) = nk
Sum[ 2^(n-1) * (b_1 + k) ] = (b_1 + k) * Sum [
2^(n-1) ] = (b_1 + k) * 1 * (2^n - 1) / 1 = (b_1 + k) * (2^n - 1)
Sum(b_i) = (b_1 + k) * (2^n - 1) - nk
a_n = a_0 + (b_1 + k) * (2^n - 1) - nk
como b_1 = a_1 - a_0, temos que:
a_n = a_0 + (a_1 - a_0 + k) * (2^n - 1) -
nk
bom, nao bateu com seu gabarito.. posso ter errado
alguma conta..
alias, tenho errado bastante conta esses ultimos
dias..
mas a ideia eh essa..
abraços,
Salhab
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